高中数学排列与组合

10.2排列与组合一、填空题1.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有_____种(用数字作答).解析分两步完成:第一步将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有33A,所以满足条件得分配的方案有332114213622CCCAA种.答案362.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为_______种．解析第一步，先将1,3,5分成两组，共C32A22种方法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种方法；第三步：将两组奇数插到三个偶数形成的四个空位，共有A42种方法.综上共有C32A22A33A42＝3×2×6×12＝432(种).答案4323．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有________．解析若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有A22A23＝12(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：C12A12A33＝24(种)，由分类计数原理知不同的选派方案共有36种．答案364．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_______种．解析考虑特殊元素(位置)优先安排法．第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C13C24A33＝108.第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C23A33＝18，∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.答案1265．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，共有30种选法．答案306．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法，由分类计数原理共A34＋C23A24＝60种方法．答案607．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E实验，则不同的安排方式共有_______种．解析根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A，B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．答案264种8．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A47＝840种．答案8409．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后安排其他两辆车共有A22种方法，∴不同的调度方法为C25·C24·A22＝120种．答案12010．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是________．解析A55－2A22A23A22－A22A22A33＝48.答案4811．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________种．解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．答案2412．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案数为________．解析将8名售票员平分为4组，有C28C26C24÷A44，再分配司机有A44，由此得分配方案数为C28C26C24.答案C28C26C2413.已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素，构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为.解析若不考虑限定条件，确定的点的个数为C11C21C31A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的相同的点有三个.故所求的个数为36－3＝33.答案33二、解答题14．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．解析(1)46＝4096；(2)C26C24C12C11A22A22＋C36A44＝1560；(3)C24＋4＝10；或C35＝10(隔板法)；(4)C36C23C11＋C26C24C22A33＋C46A34＝2160.15．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．解析(1)C512－C57＝771；(2)C57＋C15C47＋C25C37＝546；(3)C22C310＝120；(4)C512－C22C310＝672；(5)C512－C510＝540.16．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？解析(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．17．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表达式；(2)令bn＝anan＋1＋an＋1an，证明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….解析(1)由已知条件a4＝C25＝10，a5＝C26＝15，则an＝C2n＋1＝nn＋2.(2)证明bn＝anan＋1＋an＋1an＝nn＋2＋n＋2n＝2＋21n－1n＋2∴b1＋b2＋…＋bn＝2n＋21－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝2n＋232－1n＋1－1n＋2，∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.18.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则共有多少种不同的排法?解析方法一:从3名女生中任取2人”捆”在一起记作A(A共有2233CA=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端,则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求),此时共有6212种排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12448种不同排法.方法二:同方法一,从3名女生中任取2人”捆”在一起记作A(A共有2232CA=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有22226AA=24种不同排法;第二类:”捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有226A=12种不同排法;第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间”捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有226A=12种不同排法,故三类之和为24+12+12=48种不同排法