高中数学排列组合精华提炼

高中数学排列组合精华提炼依兰高中数学组刘岩【加法原理】做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法.【乘法原理】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有N=m1m2m3…mn种不同的方法.【排列】从n个不同元素中，任取m(nm)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．.【排列数】定义：从n个不同元素中，任取m(nm)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示.【排列数公式】)1()2)(1(mnnnnAmn或)!(!mnnAmn（其中m≤nm,nZ）全排列、阶乘的意义：123)2)(1(!nnnAnnn规定：0!=1【组合】1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注：1．不同元素2．“只取不排”——无序性3．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）【组合数】2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323C种组合．又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：624C关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算mnC呢？【组合数公式的推导】⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数34C是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A可以求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：组合：排列：dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：34A＝34C33A，所以：333434AAC．⑵推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分布计数原理得：mnA＝mnCmmA【组合数公式】!)1()2)(1(mmnnnnAACmmmnmn或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且注：我们规定10nC【组合数性质】mnnmnCC等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．