高中数学教学中运用数形结合提高解题能力的研究

高中数学教学中运用数形结合提高解题能力的研究摘要:高中数学新的课程改革要求培养学生们的逻辑思维能力，我们高中数学教师不能为教而教。数形结合作为高中数学一种重要的思想方法，具有直观性和简洁性，解题思路清晰、快速的特点。本文论述了高中数学数形结合的作用，并提出了具体的数形结合的理论与实践，希望能给高中数学教学提供一些建议。关键词：高中数学；数形结合；解题策略纵观数形结合的历史，从最早的人们建立数轴使得数和形得到了统一，再后来法国数学家笛卡尔发明了直角坐标系，开启了几何学的大门，高中数学几乎所有的图形都是在直角坐标中展开的，从而把代数和几何联系在了一起，建立了真正意义上的数学。我国“数形结合”一词的出现见于1964年，我国著名数学家华罗庚老先生撰写的科普知识小册子，书中有一首小诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”老先生提出数形结合思想后不久，引起了我国数学界的广泛关注和研究，当时几乎所有的数学刊物对数形结合做了更加深刻的理解和扩充，使得数形结合思想的应用有了很好的理论基础。一、高中数学数形结合解题的意义1、数形结合能够提高学生们的解题能力直观形象的数学图形能够让学生们更加清楚的理解题目意思，提高学生们的解题能力。例如有些方程根的问题，如果用代数方法解决繁琐、工作量大；但是如果把代数与几何有机的结合起来，通过方程定义域和图形的关系，便可以很方便的得出方程根的个数和解集，简单明了，特别是对于数学题中的选择题和填空题，数形结合方法能够节省大量宝贵时间。2、数形结合能够提高学生们的认知能力数形结合能够给学生们带来直观的数学知识的体验，更加深刻地说明数学问题，提高学生们的认知能力。例如数形结合在集合中的应用，通过数轴把集合中的数集表现出来，学生们通过直观的图形包含关系和数轴上的线条走向，能够很快的了解集合的意义和从属关系，从而获得正确的结果。3、数形结合能够提高学生们的自主学习能力数形结合提供给了学生们自己动手演练解题过程，同时自己动脑开发解题方法的机会，提高了学生们自主学习的能力。例如在讲授三角函数时，通过点在图形“圆”上的变化，得出不同的正弦、余弦、正切和余切的函数定义，学生们通过自己动手加深了三角函数的意义的理解；同时鼓励学生们在解题过程中合理地运用数形结合，相互交流和学习，共同提高了学习数学的能力。二、高中数学数形结合解题的策略1、培养学生们的数形结合意识首先我们数学教师在解题过程中，应该精选一些典型的，能够很好地体现数形结合思想奥妙之处的例题来进行讲解；其次在讲解过程中适当地提出一些问题，引导学生们运用数形结合解题；最后讲解完毕了注意总结，对于着重运用的数形结合的思想加以概括和提升，达到讲解一个例题，熟练一类题型的效果。例如在讲授函数与方程的关系时，我选取了一个典型例题：方程222(3)10xmxm有两个不等实根，其实根分别在（0,2）和（2,4）内，请问m的范围。我们可以将方程转化为函数22()2(3)1fxxmxm，这样根据二次函数图像和性质（如下图），可以得出(0)0,(2)0,(4)0fff三个不同的方程求解，这样就可以得出m值的范围。这是我在教学过程中使用的一个典型的数形结合的应用案例，不仅使得题目问题一目了然，而且通过相互转化，提高了学生们的分析问题能力，从而锻炼了学生们的解题能力和逻辑思维。我们在日常教学中通过函数关系式把复杂问题简单化，通过图形等直观的表现方法，以便于学生们能够清楚地看图，读图，提高了学生们学习数学的有效性。2、注重寻找数形转换突破口的练习我们教师在课堂解题教学中要注重培养学生们的数形结合能力，努力让学生们做到“由数想形、由形想数”的思想观念，这样不仅能够积累一定的数形结合解题经验，还能够为以后巧妙应用数形结合创造条件。这里我列举一个我教学过程中，寻找数形结合突破口的教学案例：求函数22()9841fxxxx的最小值？学生们看到这个题都觉得一个方程运用数形结合就很好求解了，两个方程就不知道怎么运用数形结合了。这时我对方程做了一下变形为：2222()3(4)5fxxx这一步同学们非常明白，但是还是不能解决实际问题。这时我引入距离公式:11(,)axy和22(,)bxy的距离为:221212()()dxxyy这时同学们联想到这个题目就是求动点到两点之间的最小值，通过作图可以得出三点共线时距离最短。同学们通过这个题目了解了数形结合的意义，同时也懂得了合理运用数形结合需要大量的知识积累。3、注重图形的准确和等价交换学生们在运用数形结合时往往因为图形的不准确，从而得出错误的结论，我们数学教师要在平时的课堂讲解中，时刻提醒学生们注意图形的等价交换和准确性。例如下面例题：函数sinyx与函数=tanyx图像在区间2,2上的交点个数？这个题目学生们都知道要运用数形结合，但是得出的结论不一样。有的同学只是简单的画了一个草图，没有严格按照三角函数定义域内图形的特征，从而得出了错误的结论。我借此告诫同学们应该严格了解每个函数的特征，准确的按照要求绘图，这样才能够体现图像的等价交换。ππ20-π-π2xyy=sinxy=tanxππ20-π-π2xyy=sinxy=tanx（错误）（正确）三、结束语总之，数形结合的思想在高中数学中应用十分广泛，可以解决高中数学教学的众多难点和重点问题。复杂的问题运用数形结合思想能够轻易的找到解决途径，简单的问题运用数形结合思想同样能够简化计算和解题过程，尤其是在不要求解题过程的填空题和选择题。但是数形结合在高中数学中的效果并不理想，因此我们数学教师应该在课堂教学过程中，努力培养学生们的数形结合意识，加强学生数形结合能力的培养和提供更多的经典案例分析，同时对于学生们在数形结合解题过程中的不足，加以总结和指导，真正做到合理，有效的运用数形结合思想解题。参考文献[1]王元，陈德泉，计雷等．华罗庚科普著作选集[M]．上海：上海教育出版社，1984．181．[2]张同君．中学数学解题研究[M]．长春：东北师范大学出版社，2002．228．[3]罗增儒．数学解题学引论[M]．西安：陕西师范大学出版社，2001：384．