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用心爱心专心1几何概型知识与常见题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。一基本知识剖析1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。2.几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。二常见题型梳理1.长度之比类型例1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)=605060=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61．例2在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．解析：记“面积介于36cm2与81cm2之间”为事件A，事件A的概率等价于“长度介于6cm与9cm之间”的概率，所以，P(A)=9612=14小结：本例的难点不是在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本例的关键之处。同时又体现了数学上的化归思想的作用。用心爱心专心22.面积、体积之比类型例3.（08江苏高考6）.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为。解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），而区域E表示单位圆及其内部，因此214416P。答案16点评：本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的，属于几何概型中典型的面积之比。3.角度之比型例4.如图所示，在等腰直角ABC中，过直角顶点C在ACB内部做一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率。分析：当AMAC时，有ACMAMC，故欲使AMAC，应有ACMAMC，即所作的射线应落在ACMAMC时ACM的内部。解析：在AB上取ADAC,连接CD，则0001804567.52ACD，记“在内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC”为事件A，则0067.53()904PA，所以，所求概率为34。点评：本题所求事件的本质是在ACB内部做一条射线CM，所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易易犯的错误是，用长度的比得出212122这一错误结果。4.“会面”类型的几何概型例5.某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解析：设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的x分、y分，则|x-y|≤20,0≤x,y≤60，即CABMD用心爱心专心32020()|060060xyAxxy，y，以9点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，事件A所对应的区域如图中阴影区域所示：20-20-20602060xyABCD所以，其概率P(A)=阴影面积/ABCD面积=5/9。小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比求出，使得问题得以解决。5.与其他章节知识综合类例6.已知两数mn，是某事件发生的概率取值，则关于x的一元二次方程20xnxm有实根的概率是（）A.12B.14C.18D.116解析：事件发生的概率取值为[01]，，故[01]，即为两数mn，的取值范围。在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示mn，的值，因为（mn，）与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A表示方程20xnxm有实根，则事件40()|0101nmAmnmn，，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1()8SPAS阴影正方形，即关于x的一元二次方程20xnxm有实根的概率为18．答案：C．用心爱心专心4点评：将方程的根、线性规划问题以及概率知识等问题有机地结合在一起，注重在知识的交汇处命题，是近年来高考的命题趋势。本题设计新颖，考查综合。以上，和大家共同探讨了几何概型常见题目中最为典型的五种类型题目，即长度之比类型、面积（体积）之比类型、角度之比类型、会面问题类型和综合类型，不管解决哪种类型问题，其关键都要选择适当角度，使基本事件转化为与之对应的总体区域，所求问题转化随机事件对应的子区域，然后代入公式进行计算求解。这其中特别要注意分析清楚，试验的基本事件应该属于与长度（包括时间长度）、面积（体积）还是角度等，这样才能寻到正确的解题方向，避免出现错误。附变式练习：（1）．已知某地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。（2）．某地原来每两支路灯间相距60m，为改善照明状况，加快新农村建设的步伐，决定在两支之间再添一支，求新添的一支灯与两端的距离都大于20m的概率．（3）如图所示，在直角坐标平面内，射线OT落在060角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率。变式练习答案：：（1）记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)=111；（2）记“灯与两端距离都大于20m”为事件A，由几何概型知，所求事件的概率P(A)=2060=31．（3）记“射线OA落在xOT内”为事件A，由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)=16