高中数学教学论文函数高考题的变式训练

用心爱心专心-1-函数高考题的变式训练改编陈题是高考数学命题的途径之一，近几年的高考几乎每年都有改编自课本习题、历年高考题、竞赛试题的题目。平常教学中，进行有效的变式教学和变式训练，对培养学生思维的灵活性和创造性都起着积极的作用。函数是中学数学最重要的内容之一，其试题灵活性大，综合性强，出题方式多种多样，成为历年高考命题的重中之重。本文对近两年的部分函数高考题，进行变式训练。高考真题1(2010年高考湖南理科卷第8题)用min{,}ab表示,ab两数中的最小值.若函数()min{,}fxxxt的图象关于直线12x对称，则t的值为（）A．-2B．2C．-1D．1【参考答案】由右图可以看出，要使()min{,}fxxxt的图象关于直线12x对称，则1t.故选【D】.变式训练1：用min{,}ab表示,ab两数中的最小值.若函数()min{,}()fxxsxtst的图象关于直线12x对称，求st的值.【解析】函数yxs和yxt的零点分别是s和t，结合原题的解答图象，由对称性得()122st，即1st.变式训练2：用min{,}ab表示,ab两数中的最小值.函数()min{,}fxxxt的图象关于直线12x对称，若方程()fxm恰有2个不相等的实数根，求m的取值范围.【解析】由原题知()min{,1}fxxx，分别作出函数()yfx和ym的图象，数形结合得12m或0m.变式训练3：用min{,}ab表示,ab两数中的最小值.给定函数()min{,}fxxxt，若用心爱心专心-2-不等式()1fxx恒成立，求t的取值范围.【解析】分别作出函数()yfx和1yx的图象，数形结合得1t，即1t.【小结】原题通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力.变式题通过使条件一般化，并结合方程、不等式的有关知识进行训练，依然重视考查学生的数形结合的能力。高考真题2(2009年高考全国Ⅰ理科卷第11题)函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则()sA.()fx是偶函数B.()fx是奇函数C.()(2)fxfxD.(3)fx是奇函数【参考答案】由函数(1)yfx是奇函数知(1)(1)fxfx①由函数(1)yfx是奇函数知(1)(1)fxfx②由①知()(2)fxfx，由②知()(2)fxfx所以(2)(2)fxfx，即(4)()fxfx所以函数()yfx是以4为周期的函数.由②知(14)(14)fxfx，即(3)(3)fxfx所以函数(3)fx是奇函数.故选【D】.变式训练1：对任意的函数()yfx，在同一个直角坐标系中，函数(1)yfx与函数(1)yfx的图象恒（）A.关于x轴对称B.关于直线1x对称C.关于直线1x对称D.关于y轴对称【解析】函数()yfx和()yfx的图象关于直线0x（即y轴）对称，由函数图象平移变换理论得，函数(1)yfx与(1)fx（即(1)yfx）的图象关于直线1x对称，故选【B】.变式训练2：函数()()yfxxR在(,2)上是增函数，且函数(2)yfx为偶函数，用心爱心专心-3-试确定11(1),(4),()2fff的大小关系.【解析】由函数(2)yfx为偶函数得：(2)(2)fxfx，故函数()yfx关于直线2x对称，且开口向下，画出函数()yfx的简图，由简图显然有11()(1)(4)2fff.变式训练3：函数()fx是定义在R上的奇函数，且对任意的x都有()(1)(2)fxfxfx，求(2010)f的值.【解析】由题()(1)(2)fxfxfx，(1)(2)(3)fxfxfx，两式相加得()(3)fxfx即(3)()fxfx所以(6)(3)[()]()fxfxfxfx因此()fx是周期为6的周期函数.又函数()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f所以(2010)(3356)(0)0fff【小结】原题考查奇函数的概念及对抽象复合函数的奇偶性的理解。抽象函数无具体解析式，理解、研究起来困难很大，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点。变式题对抽象复合函数的部分题型进行了训练。高考真题3(2009年高考辽宁理科卷第9题文科卷第12题)已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足1(21)()3fxf的x取值范围是()A.（13，23）B.［13，23）C.（12，23）D.［12，23）【参考答案】由于()fx是偶函数,故()()fxfx∴原不等式变为1(21)()3fxf,又()fx在区间0,)单调增加得1213x,解得1233x.故选【A】.变式训练1：用心爱心专心-4-已知奇函数()fx对于任意1212,[0,)()xxxx，都有1212()[()()]0xxfxfx,求满足21(42)(22)0xxxff的实数x的取值范围.【解析】由1212()[()()]0xxfxfx知()fx在[0,)是增函数，又()fx为奇函数所以21(42)(22)0xxxff，21(42)(22)xxxff，21(42)(22)xxxff，即214222xxx，29(2)2202xx，1(2)(24)02xx，即1242x，12222x，所以12x.变式训练2：已知奇函数()fx对于任意1212,[0,)()xxxx，都有2121()()0fxfxxx，若223(2)(1)xxffa恒成立，求a的取值范围.【解析】由2121()()0fxfxxx知()fx在[0,)上是减函数，又()fx为奇函数，其图象关于原点对称，所以()fx在R上是减函数.由223(2)(1)xxffa恒成立，得22321xxa即22321xxa恒成立，而223221213xx，所以223min(21)3xxa.变式训练3：已知()fx是定义在1,1上的奇函数，(1)1f，且满足,1,1mn，0mn，()()0fmfnmn.若2()21fxtat对所有1,1,1,1xa恒成立.求实数t的取值范围.【解析】任取1211xx，由()fx为奇函数得：1212121212()()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxx1211xx∴1212()0xxxx用心爱心专心-5-由已知1212()()0fxfxxx∴12()()0fxfx即()fx在1,1上为增函数又(1)1f，故对1,1x，恒有()1fx∴要使2()21fxtat对所有1,1,1,1xa恒成立，即要2211tat成立，故220tat记22()22gatattat，对1,1,()0agx，只需min()0,1,1gaa即(1)0,(1)0gg，解得：22ttt或=0或.【小结】原题考查了函数的单调性、奇偶性及抽象函数不等式的解法。抽象函数与不等式的综合命题是近年高考的热点，变式题尝试改变条件的呈现形式，并对不等式的探讨进行拓深、拓广。高考真题4(2010年高考湖南理科卷第20题)已知函数2()(,),fxxbxcbcR对任意的xR，恒有'()()fxfx.（Ⅰ）证明：当0x时，2()()fxxc；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意bc、，不等式22()()()fcfbMcb恒成立，求M的最小值.【参考答案】（Ⅰ）易知'()2fxxb，由题设，对任意的2,2xRxbxbxc，即2(2)0xbxcb恒成立，所以2()4()0bccb，从而214bc.于是1c，且2214bcb，因此2()0cbccb，故当0x时，有2()()(2)(1)0xcfxcbxcc，即当0x时，有2()()fxxc（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，cb，当cb，有2222222()()2fcfbcbbcbcbMcbcbcb，令btc，则2111,21cbtcbt，而函数1()2(11)1gxtt的值域是3(,)2.因此，当cb时，M的取值集合为3[,)2.当cb时，由（Ⅰ）易知2,2bc，此时()()80fcfb或，220cb，从而用心爱心专心-6-223()()()2fcfbcb恒成立.综上所述，M的最小值为32.变式训练1:设二次函数2()(,,)fxaxbxcabcR满足(1)0f，对于任意实数x，都有()0fxx，并且当(0,2)x时，有21()()2xfx.（Ⅰ）求(1)f的值；（Ⅱ）求证：116ac；（Ⅲ）当[1,1]x时，函数()()()gxfxmxmR是单调函数，求实数m的取值范围.【解析】（Ⅰ）∵对于任意xR，都有()0fxx,且当(0,2)x时,有21()()2xfx.令1x∴2111(1)()12f，即(1)1f.（Ⅱ）由(1)0,(1)1ff，可得0,1abcabc，则22()1bac.又对任意xR，()0fxx，即2(1)0axbxc，∴2102axxc.∴10,404aac，即116ac.（Ⅲ）11222acac,∴14ac，∴2111()424fxxx.∴21()()[(24)1]4gxfxmxxmx,当[1,1]x时，函数()gx是单调函数.∴2412m,解得0m或1m.变式训练2:设二次函数2()(,,,0)fxaxbxcabcRa满足条件：①当xR时，(4)(2)fxfx，且()fxx；②当(0,2)x时，21()()2xfx；③()fx在R上的最小值为0.求最大的(1)mm，使得存在tR,只要1,xm，就有()fxtx.【解析】由(4)(2),fxfxxR，可知二次函数()fx的对称轴为1x又由③知二次函数()fx的开口向上，即0a，故可设2()(1)(0)fxaxa用心爱心专心-7-由①知(1)1f，由②知211(1)()12f，所以(1)1f，故211(11),4aa，所以21()(1)4fxx.因为21()(1)4fxx的图象开口向上，而()yfxt的图象是由()yfx的图象平移t个单位得到.要在区间1,m上，使得()yfxt的图象在yx的图象的下方，且m最大，则1和m是关于x的方程21(1)4xtx（＊）的两个根.把1x代人方程（＊）得0t或4t当0t时，方程（＊）的解为121xx，这与1m矛盾当4t时，方程（＊）的解为121,9xx，所以9m又当4t时，对任意1,9x，恒有21(1)(9)0,(41)4xxxx，即(4)fxx.所以，m的最大值为9.【小结】原题考查二次函数与一次函数，导数的运算，函数的值域，不等式的证明，考查考生转化与化归能力.二次函数是重要的初等函数之一，几乎每年高考都有涉及，客观题往往是利用它的性质去解决相关问题，解答题主要与最值、不等式等知识综合考查，一般为难题。二次方程、二次不等式与二次函数密切相关，变式题对“三个二次”的内在联系进行训练。高考真题5(