高中数学教学论文盘点二项式定理中的“系数”题型

用心爱心专心1盘点二项式定理中的“系数”题型高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式中某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项式定理中的系数问题。一．直接利用二项展开式通项公式求某项系数。例1．（2009浙江卷理）在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是().A．10B．10C．5D．5解析：本题属于二项式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其通项251031551()()1rrrrrrrTCxCxx，对于1034,2rr，则4x的项的系数是225(1)10C，答案选B。二．正确区分“两个系数”即二项式系数和项的系数例2(12)nx的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项。思路导析：二项式系数是指rnC，而项的系数由二项式系数rnC和数的乘积构成解析：二项展开式的通项12rrrrnTCx，由第6项与第7项的系数相等得，5566228nnCCn，所以，展开式中二项式系数最大的项为44445821120TCxx，设第1r项系数最大，则118811882222rrrrrrrrCCCC解之得56r即56r或所以，系数最大的项为55556821792TCxx或66667821792TCxx点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为rnC，而项的系数应是rnC与数的幂的乘积组成，这一不同要仔细区分。三．求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数例3（1）27(1)(1)(1)xxx展开式中，3x项的系数为_______（2）设432123401234xaxaxaxaAxAxAxAxA则2__A3____A（3）9(2)xyz展开式中423xyz系数为_______用心爱心专心2思路导析：对于（1）中所求3x项的系数，应先研究清楚3x项的构成，2(1),(1)xx中均没有3x，从3(1)x开始出现3x，故应分别计算其后五项中3x的系数之和即得；对于（2）（3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。解析：（1）3x项系数为3334347870CCCC（2）2A即2x系数，即从1234{,,,}aaaa中取两元的所有组合的和，即2123423434()()Aaaaaaaaaa，同理3123124134234Aaaaaaaaaaaaa.（3）由9(2)(2)(2)(2)xyzxyzxyzxyz知4个括号取x，余下5括号取2y，再从余下3个括号取z，于是得423xyz系数为422339532(1)5040CCC.点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时，要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。四．通过通项研究展开式系数特征例4（2010湖北理数11）在（x+43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列出即可。解析：二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)rrrrrrrrTCxyCxyr要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.答案为6五．求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和例5已知25(321)xx10910910axaxaxa，求20246810()aaaaaa213579()aaaaa的值。思路导析：由平方差公式，所求20246810()aaaaaa213579()aaaaa01210()aaaa024681013579[()()]aaaaaaaaaaa其中01210aaaa为展开式各项系数之和，赋值法令x=1即得；024681013579()()aaaaaaaaaaa为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令x=-1即得。解析：令x=1,得5012102aaaa，用心爱心专心3令x=-1,得024681013579()()aaaaaaaaaaa56,20246810()aaaaaa135(aaa255579)2612aa。点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式()()ngxpxq2012nnaaxaxax，有以下结论：（1）g(x)的二项式系数和为2n；（2）g(x)的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=12n；（3）g(x)的各项系数和为g(1)；（4）g(x)的奇数项的系数和为1[(1)(1)]2gg；（5）g(x)的偶数项系数和为1[(1)(1)]2gg。这里常用到一种重要方法：赋值法。六．赋值法在解决系数问题中的综合应用例6（2009陕西卷）若20092009012009(12)()xaaxaxxR,则20091222009222aaa的值为（A）2（B）0（C）1(D)2思路导析：如果从二项展开式中各系数na表达式入手，将其写出为2009(2)nnnaC，可以发现20081200820092009022aa，同理可以得出2007222007+=022aa,3200632006+=022aa………亦即前2008项和为0,故只需求200920092a即可，此为思路一；思路二：如果整体研究20091222009222aaa，可将分母中2的指数与na的下标统一起来，采用赋值法只需令12x即可使问题迎刃而解。解法一:由题意112008200820081200920082009(2)22009,(2)(2)2009aCaC,则2008200811200820082009,2009,+=02222aaaa即,同理可以得出2007222007+=022aa,3200632006+=022aa………亦即前2008项和为0,则原式=20091222009222aaa=200920092009200920092009(2)122aC故选C.解法二：（赋值法）令12x得，2009120220090222aaaa，又令0x得01a，所以得20091222009011222aaa，故选C.附变式训练用心爱心专心41：已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是(A)－1(B)1(C)－45(D)452．设二项式nxx)13(3的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若272SP，则n（）()A4()B5()C6()D83．若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为（）()A1()B-1()C0()D24（2009北京卷文）若4(12)2(,abab为有理数），则ab（）.A．33B．29C．23D．195求100(32)xyz展开式的各项系数之和为__________。6（2010江西理数）82x展开式中不含．．4x项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2答案1。D；2。A；3A；4B；5解：令x=y=z=1，得100(132)0，即展开式系数之和为0。6B【提示】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4x项系数80882(1)1C即为所求，答案为0.