高中数学教学论文转化与化归思想在立体几何中的体现

用心爱心专心1转化与化归思想在立体几何中的体现摘要：转化与化归的思想，是数学学科与其他学科相比，一个特有的数学思想方法，化归思想的核心是把生问题转化为熟问题，我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程，一个生题变熟题的过程。因此，解每一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归，所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。本文就其基本理论和其在立体几何中的体现做一简单介绍。关键词：转化；化归；思想；立体几何；体现解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，这时就需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。转化思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决，其形式如下图：转化与化归应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。转化、化归的思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的基本思想方法，具体体现在如下几个方面：问题规范化问题解答原问题的解转化还原已知理论、方法、技巧问题规范化问题解答原问题的解已知理论、方法、技巧问题规范化问题解答原问题的解用心爱心专心2（1）把立体几何问题向平面几何转化，即立体问题平面化，它是解决立体几何问题始终如一的原则。如异面直线所成的角、线面所成的角、二面角这三种空间角都是用平面角定义的，在解决有关空间角的问题时，一般是将它们转化为平面角来处理，最终化归为解三角形。（2）在讨论平行与垂直关系时，应注意用“线线平行线面平行面面平行”与“线线垂直线面垂直面面垂直”进行转化。（3）在计算立体几何中的距离问题时，根据它们的定义都可以化归为两点间的距离，。例如，求异面直线的距离；或化归为求公垂线段的长；或化归为线面距离或面面距离，而这三种方法最终又化归为两点间的距离。另外，等体积法、图形语言与符号语言、文字语言的互译等也都体现了转化思想的应用。下面枚举数例，有不妥之处敬请指正。例1．已知a、b是两条异面直线，求证过a且平行b的平面必平行于过b且平行a的平面。【解答】如图1—1所示，任取点A，由推论1设点A与b确定平面，且1b=，b∥，1b,⊂b=则b∥1b又∵⊂,1bb∴1b∥又∵∥，Aba1，a、1b∴∥，故原命题正确。【点评】在面面关系中，要善于用和线线、线面平行的概念判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意互相转化，达到由线线、线面化归为面面问题，使之统一深化。例2.如图1—2，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起使C点移到C1点，且C1在平面ABD内的射影O恰好落在AB上。（1）求证：AC1⊥BC1；（2）求AB与平面BC1D所成的正弦值；（3）求二面角C1—BD—A的正切值。【解答】（1）由题意，C1O⊥面ABD。又C1O面ABC1，∴面ABC1⊥面ABD。又∵AD⊥AB，面ABC1∩面ABD=AB，∴AD⊥面ABC1，∴AD⊥BC1，又BC1⊥C1D，AD∩C1D=D，∴BC1⊥面AC1D，∴BC1⊥AC1。（还可由三垂线定理证AD⊥BC1）（2）∵BC1⊥面AC1D，BC1面BC1D，1bAab图1—1图1—2OGHC1DCBA用心爱心专心3∴面AC1D⊥面BC1D，作AH⊥C1D，于H，则AH⊥面BC1D。连结BH，则BH为AB在面BC1D上的射影，∴∠ABH即为AB与面BC1D所成的角。又在Rt△AC1D中，C1D=33，AD=3，∴AC1=23，∴AH=6，∴sin∠ABH=ABAH=32。即AB与面BC1D所成角的正弦值为32。（3）过O作OG⊥BD于G，连结C1G，则C1G⊥BD。则∠C1GO为二面角C1—BD—A的平面角。在Rt△AC1B中，C1O=ABBCAC11•=6在Rt△BC1D中，C1G=BDCDBC11•=233。∴OG=2121OCGC=23，∴tan∠C1GO=OGOC1=22.即二面角C1—BD—A的正切值为22。【点评】（1）本题证线线垂直过程中用到了线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化的思想线线垂直线面垂直面面垂直（2）通过作线面角与二面角的平面角，将空间角的问题转化为平面角处理。例3.如图1—3，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为a，D是AB的中点，连结A1D，DC，A1C.（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求BC1到平面A1DC的距离。【解答】（1）连结AC1，交A1C于点E，则平面ABC1∩平面A1DC=DE.因为E是AC1的中点，D是AB的中点，所以DE∥BC1.而DE平面A1DC，BC1平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC；（2）由（1）知BC1∥平面A1DC，所以BC1上任一点到平面A1DC的距离都是BC1到平面的距离。HECDC1B1BAA1图1—3用心爱心专心4所以求点B到平面A1DC的距离即可，又因为AB与平面A1DC相交于AB的中点D。所以点A、B到平面A1DC的距离相等，因为CD⊥AB，CD⊥AA1，所以CD⊥平面A1ABB1。所以A—A1D—C是直二面角，过点A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上。在Rt△A1AD上，A1A·AD=A1D·AH，所以AH=DAADAA11=411a2+•1a=a55。所以BC1到平面A1DC的距离是a55。【点评】线到面的距离是转化为点到平面的距离求解的，线段与平面交于中点时两端点到平面的距离相等，又可化成另一端点到平面的距离。参考文献：1梁大鹏，王俊杰.思想方法高中数学.北京：人民日报出版社，2006年3月第二版.582-610.2皱清林等．高中数学思想方法与能力培养．四川：四川教育出版社，1995年10月第一版．324-385.