高中数学方法讲解之反证法

第1页共10页反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证第2页共10页明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例1.[05.北京]设()fx是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x使得()fx在[0,']x上单调递增，在[',1]x上单调递减，则称()fx为[0,1]上的单峰函数，'x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。对任意的[0,1]上单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,xxxx若12()()fxfx，则2(0,)x为含第3页共10页峰区间；若12()(),fxfx则1(,1)x为含峰区间；【巧证】：设'x为()fx的峰点，则由单峰函数定义可知,()fx在[0,']x上单调递增，在[',1]x上单调递减。当12()()fxfx时，假设2'(0,)xx，则12',xxx从而21(')()(),fxfxfx这与12()()fxfx矛盾，所以2'(0,)xx，即2(0,)x是含峰区间。当12()()fxfx时，假设1'(,1)xx，则12'xxx，从而12(')()(),fxfxfx这与12()()fxfx矛盾，所以1'(,1)xx，即1(,1)x是含峰区间。例2.求证：函数f(x)=sinx的最小正周期是2π．【巧证】：由诱导公式知，对任意x∈R，有sin(x＋2π)=sinx，即2π是函数sinx的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx的最小正周期，假设还有一个正数T也是sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意x∈R都有sin(x＋T)=sinx．特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2π．注：若直接证明比较困难，因适合0＜T＜2π的正数有无第4页共10页穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．例3xyxy221y2若、都是正数，且＋＞，求证：＜和＋＜中至少有一个成立．1xyx证明：如果＋＜和＋＜都不成立，则有＋≥和＋≥同时成立，因为、均为正数，故必有1x21y21x21y2xyyxyx1＋x≥2y，且1＋y≥2x．两式相加，得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即2≥x＋y，这与已知矛盾，故1x21y2＋＜和＋＜中至少有一个成立．yx注：“集合M中至少有一个元素m不具有性质a”的否定是“集合M中所有元素都具有性质a”．反之亦对．因为“集合M中至少有一个元素不具有性质a”，它包含了“M中有一个元素不具有性质a、两个元素不具有性质a……所有元素都不具有性质a”等各种情形．因此它的否定是“M中所有元素都具有性质a”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一个是零”．第5页共10页例4ABCABCsinAsinBsinC在已知锐角△中，＞＞，求证：＞，＞，且＜．322232证明：结论的否定是≤，或≤，或≥．sinAsinBsinC322232若≤，因△是锐角三角形，sinAABC32∴C＜B＜A≤60°．∴A＋B＋C＜180°，这不可能．∴＞．sinA32同理可证＞，＜．sinBsinC2232注：这里最容易出现的错误是把对结论的否定说成“若≤，sinA32sinBsinCxA≤，≥”．注意“且”的否定是“或”．例如“∈2232或∈，即∈∪”的否定是“∪，即且”．xBxABxABxAxB例5.[88.全国理]给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝xax11(其中x∈R且x≠1a)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。第6页共10页【巧证】：①设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2,假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即xax1111＝xax2211，整理得a(x1－x2)＝x1－x2∵x1≠x2∴a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。②由y＝xax11得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝yay11，即原函数y＝xax11的反函数为y＝xax11，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝xax11的图像关于直线y＝x成轴对称图像。【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。例6、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0【巧证】：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+c=a0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾又：若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0第7页共10页同理可证：b0,c0例7.求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．【巧证】：如图1-8-6，设平面α∥β．直线AB∩α=A，下面用反证法证明AB与β相交．假设AB与β不相交，则必须考虑两种情形：(1)若AB∥β，过AB作平面γ，使β∩γ=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，设α∩γ=AB'．又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ内过A点有两条直线AB与AB'分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾．∴AB不能平行于平面β．(2)ABAB=AAA若β，∵∩α，则∈α，且∈β，于是α与β相交于过点A的一条直线，但与已知α∥β矛盾，∴AB不在β内．由(1)、(2)可知，直线AB与平面β相交．注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法．第8页共10页巧练一：1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0______。A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2.已知a0,－1b0，那么a、ab、ab2之间的大小关系是_____。A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)A.150种B.147种C.144种D.141种十三、反证法巧练一：【巧解】：1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C104－C64×4－3－6,选D。第9页共10页巧练二：设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41巧练二：【巧证】：设(1a)b41,(1b)c41,(1c)a41,则三式相乘：ab(1a)b•(1b)c•(1c)a641①又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb,41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴原式成立巧练三：若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。巧练三：【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【巧解】：设三个方程均无实根，则有：△△△12222221644301404420aaaaaa()()(),解得321211320aaaa或,即－32a－1。所以当a≥－1或a≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根。【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正第10页共10页面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。