高中数学曲线与方程

9.9曲线与方程一、填空题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是________．解析(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔x－y＝0，xy－1＝0，∴x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.故此方程表示两个点．答案两个点2．方程|y|－1＝1－x－2表示的曲线是________．解析原方程等价于|y|－1≥01－x－12≥0|y|－12＝1－x－12⇔|y|－1≥0x－12＋|y|－12＝1⇔y≥1x－12＋y－12＝1或y≤－1x－12＋y＋12＝1答案两个半圆3.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为_______．解析考查抛物线定义及标准方程,知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28yx.答案28yx4．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM→＝λMQ→(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为________．解析设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM→＝λMQ→得x－x0＝λx0－x，y－y0＝－λy(λ＞0)，∴x0＝x，y0＝λ＋1y.由于x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．答案椭圆5.设P为双曲线2214xy上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是.解析设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得答案2241xy6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．解析由条件知PM＝PF.∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝ROF.∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．答案椭圆7．若△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．解析如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．答案x29－y216＝1(x3)8．对于曲线C：x24－k＋y2k－1＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜52.其中所有正确命题的序号为________．解析根据椭圆和双曲线的定义，可得当4－k0，k－10，4－k≠k－1，即k4，k1，k≠52时，表示椭圆；当k1或k4时，表示双曲线．答案③④9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－a2，0，Ca2，0(a0)，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析由正弦定理得AB2R－AC2R＝12×BC2R，∴AB－AC＝12BC，由双曲线的定义知动点A的轨迹为双曲线右支．答案16x2a2－16y23a2＝1(x0且y≠0)10．已知P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是______________．解析由OQ→＝PF1→＋PF2→，又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→，设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－12(x，y)＝－x2，－y2，即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，则有－x22a2＋－y22b2＝1，即x24a2＋y24b2＝1(a＞b＞0)．答案x24a2＋y24b2＝1(a＞b＞0)11．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，即r2－d21＝169，r2－d22＝144，消去r得动点M满足的几何关系为d22－d21＝25，即x－2y＋213－x－3y＋213＝25.化简得(x＋1)2－y2＝65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．答案(x＋1)2－y2＝6512．直线xa＋y2－a＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是______．解析(参数法)设直线xa＋y2－a＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝a2，y＝1－a2，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案x＋y＝1(x≠0，x≠1)13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是________．解析在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等，∴|x|＝y2＋a2，∴x2－y2＝a2，故该轨迹为双曲线．答案双曲线二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆2224xyxy1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:(1)过原点;(2)有最小面积.解析设所求圆的方程是22241xyxy(2xy+4)=0,即22(2)2(2)140xyxy.(1)因为圆过原点,所以140即14.故所求圆的方程为2277042xyxy.(2)将圆系方程化为标准式,有:2222524()(2)()2455xy.当其半径最小时,圆的面积最小,此时25为所求.故满足条件的圆的方程是22844()()555xy.点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.15．如图，椭圆C：x216＋y24＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．(1)求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2)过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于点B)，且它们的斜率k1，k2满足k1k2＝－14，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．解析(1)由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)．所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－14x＋2.解方程组y＝x－2，y＝－14x＋2，得x＝165，y＝65.所以直线DE与直线BP的交点坐标为165，65.因为165216＋6524＝1，所以点165，65在椭圆x216＋y24＝1上．即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．(2)设直线BR的方程为y＝k1x＋2.解方程组y＝k1x＋2，x216＋y24＝1，得x＝0，y＝2或x＝－16k11＋4k21，y＝2－8k211＋4k21，所以点R的坐标为－161＋4k21，2－8k211＋4k21.因为k1k2＝－14，所以直线BS的斜率k2＝－14k1.直线BS的方程为y＝－14k1x＋2.解方程组y＝－14k1x＋2，x216＋y24＝1，得x＝0，y＝2或x＝16k11＋4k21，y＝8k21－21＋4k21.所以点S的坐标为16k11＋4k21，8k21－21＋4k21.所以点R，S关于坐标原点O对称．故R，O，S三点共线，即直线RS过定点O.16．已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F.若点P是圆O上的一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与点A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．解析(1)因为a＝2，e＝22，所以c＝1.则b＝1，即椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)因为P(1,1)，所以kPF＝12，所以kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.又椭圆的左准线方程为x＝－2，所以点Q(－2,4)．所以kPQ＝－1.又kOP＝1，所以kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．证明如下：设P(x0，y0)(x0≠0，±1)，则y20＝2－x20，所以kPF＝y0x0＋1，kOQ＝－x0＋1y0.所以直线OQ的方程为y＝－x0＋1y0x.所以点Q－2，2x0＋2y0.所以kPQ＝y0－2x0＋2y0x0＋2＝y20－x0＋x0＋y0＝－x20－2x0x0＋y0＝－x0y0，又kOP＝y0x0，所以kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切．17．如图，在直角坐标系中，A、B、C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO＝m(m为常数)，平面的点P满足PA＋PB＝6m.(1)试求点P的轨迹C1的方程；(2)若点(x，y)在曲线C1上，求证：点x3，y22一定在某圆C2上；(3)过点C作直线l与圆C2相交于M、N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．解析(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A、B为焦点的椭圆，且半焦距长c＝m，长半轴长a＝3m，则C1的方程为x29m2＋y28m2＝1.(2)若点(x，y)在曲线C1上，则x29m2＋y28m2＝1.设x3＝x0，y22＝y0，则x＝3x0，y＝22y0.代入x29m2＋y28m2＝1，得x20＋y20＝m2，所以点x3，y22一定在某一圆C2上．(3)由题意，得C(3m,0)．设M(x1，y1)，则x21＋y21＝m2.①因为点N恰好是线段CM的中点，所以Nx1＋3m2，y12.代入C2的方程得x1＋3m22＋y122＝m2.②联立①②，解得x1＝－m，y1＝0.故直线l有且只有一条，方程为y＝0.18．在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)，B(4,0)，动点P与点A、B连线的斜率之积为－14.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.①求圆M的方程；②当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．解析(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝yx＋4，k2＝yx－4.由题意，知yx＋4·yx－4＝－14，即x216＋y24＝1(x≠±4)．所以动点P的轨迹方程是x216＋y24＝1(x≠±4)．(2)①由题意，得C(0，－2)，A(－4,0)，所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.设M(a,2a＋3)(a＞0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋3r22，得a＝r2.所以⊙M的方程为x－r22＋(y－r－3)2＝r2.②假设存在定直线l