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1由题后反思培养学生自我探究能力“掌握数学就意味着解题”（G.波利亚），如何提高学生的解题能力正是中学教师共同的话题。我们常见到这样的情形：课堂上听懂了,堂上作业也做对了，可是课外再做同类的题又做不出或者做错。这是什么原因？是学生笨吗?当然不是，其中一个很重要的原因就是学生做题后不反思，没有养成题后反思的习惯！常常满足于题目的做法，而不进一步追究为什么这样做，知其然而不知其所以然，这样获得的知识往往只是表面的、肤浅的。所谓反思，是指主动地对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考。是对已形成的数学思想、方法和知识从另一角度，以另一方式进行再认识，以求得新的认识或提出疑问作为新的思考起点。经常反思，能促进学生从不同方面多角度观察事物，并寻求不同思路，善于在学习中质疑问难，解决问题时不满足于常规的思考方法，同时也有利于创新能力的形成，有利于自我探究能力的形成。新课程理念倡导积极主动，勇于探索的学习方式，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。《新课程标准》力求在夯实基础的同时，自始至终体现创新精神，为学生提供“提出问题、探索思考和实践应用”的空间。那么怎样让学生养成解题后反思的习惯，培养自我探究能力呢？一、反思错解，培养思维的严谨性和批判性，提高自我探究能力错误是学生在学习中自然存在的现象。对错误反思能使学生认识错误所在，自诊自治，提高对错误的免疫力。同时形成理性思维是培养学生具有社会责任感、学会批判思考的基本环节。反思错解，关键在于找准根源，教师可引导学生从以下几点反思：①错误出现在何处？是题意理解不完整，还是推理不严密，还是结论不简洁。②错误根源是什么？概念理解不准确，公式、方法运用不当，还是书写不规范。③如何得出正确答案？教师可采用以下方式引导学生反思：1、在教学中有意出现错误。教学中，教师可选准时机，有意按照学生的“常见病”，“多发病”的歧路出错，把错误暴露给学生。例1已知y=k(x-2)+1与y=有两个不同的公共解,求k的取值一开始，教师有意迎合学生的习惯思维，板书错误解答。解：由题意得k(x-2)+1=要使两方程有两个不同的公共解，即需2至此可让学生寻找别的解法，经过一段时间，一些学生用解析法求出。这时学生发现问题，习惯思维受到冲击，有些学生发现老师错误，但不知所在，经老师引导，原来当一元二次方程中未知数取值范围受到限制时，利用判别式的取值来判定方程的解不准确，犯了方法运用不当，推理不严密的错误。2、一题多错，辨别分析错误。教师可组织学生积极参与，辨析思维，挖掘致错根源。师生共同探究,充分展示探究过程，达到对解题方法的透彻理解。例2已知a,b，且a+b=1,求证：（+）(+先让学生练习，教师巡视，并让证题出错的学生板演。错证1：错证2：错证3然后组织学生自己分析错因，可以发现错证1和错证2中等号成立的条件均为a=b=1，这与条件a+b=1相悖。错证3则是应用了异向不等式相加的错误推理，较为隐蔽。反思错因，促进了正确思路的萌生。在分析中，学生能掌握证题的关键是抓住等号成立的条件，容易估猜当a=b=时等号成立。学生在这个原则指导下，探索了多种证法，现举一种。正解：3通过以上的教学形式，可帮助学生形成反思错解的习惯也知道如何去寻找错因，从而总结教训，避免再犯；同时也加深了对概念、法则、定理、公式的理解，训练了思维的严谨性和批判性，也促进了知识的同化和顺应。师生共同参与，揭示探究过程，在潜移默化中培养学生的自我探究能力。二、反思突破口，培养思维的开阔性和灵活性，提高自我探究能力有些题学生往往感到无法入手，或做到中途无法继续。其实解不出的题往往只是某个小知识点或某种处理方法没有掌握，只要找到阻碍思路的地方，弄通它，思路就豁然开朗了。解题不仅仅是知道解法，更重要是反思解题过程，从中找出卡住思路的地方，这些常常也是题目的突破口，从而逐步积累解题经验，为进一步探究打下坚实的基础。例3、已知椭圆，问是否存在斜率为k(k0)的直线L,使L与椭圆交与两个不同点M,N,且|AM|=|AN|，若存在,求k的取值范围,若不存在，请说明理由。此题设L:y=kx+b与椭圆方程联立,先找k与b的关系,再由联立的方程的0建立k的不等式,相当繁琐,参数太多,学生往往在中途会做不下去。解：假设存在斜率为k的直线L,令M(x1,y1),N(x2,y2)中点为P(x0,y0),由|AM|=|AN|得LLAP即kAp=---------------(1)由与得k=-------------(2)由（1），（2）得4因P点在椭圆内，所以解得故L存在教师给出此解法后让学生反思，学生不难发现解法是从L的斜率k出发，借助|AM|=|AN|，得出LLAP，P为MN的中点，用k表示P点,再考虑P点在椭圆内，从而建立k的不等式。解法关键在于控制P点在椭圆内，从而避开了繁琐的计算。这也是一大类有关圆锥曲线和直线，点的对称问题的关键所在。用此法可较容易解决下题：例4已知椭圆C的方程为，试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称(广东高考题)。三、反思总结，扩大成果，培养思维的发散性和创新性，提高自我探究能力解题不在多而在深。肤浅的解决很多问题，在题海里浮游，就捕捞不到有价值的东西；反之认真研究一个问题，总结出几条借鉴的规律，以后在遇到类似的或相近的题目，就不但会解，还可以多方面去解，甚至推而广之，以一当十。因此，每解一道新题，都要反思，争取得到尽可能多的收获。“一个大的发现可以解决一个新的问题，但在解决任何一个问题里都有一点点发现”。若能在解题中注重积累“一点点的发现”，从量变到质变，慢慢就可培养出一种善于思考问题和解决问题的能力，有能力进行自我探究。1、反思解法，寻求一题多解。题目往往由于审题的角度不同，得出多种解题方法。教师应启发学生进行多角度观察，联想，找到更多的思维通道，探索更好的解题途径。一题多解的训练，能开阔思维，增强综合运用数学知识的能力，利于培养创造性的发散思维。例5求使关于x的方程㏒2x=2㏒2(x-a)2恰有一实数解的a的取值范围解法一：原方程可化为㏒22x=㏒2(x-a)2等价于得x2-(2a+2)x+a2=0①当时a=,可得满足。（注：多数高三学生只能做到这里）5②当时即得其中满足题意要使原方程只有一解只需得综上，当或a=时原方程有唯一解此解法较繁，②中用求根公式较少见，绝大多数学生想不到。教师可引导学生回到等价转换的地方再观察，不难发现问题实质是要使方程2x=(x-a)2在(a,+∞)恰有一解,由此产生下列解法。解法二：要使方程2x=(x-a)2在(a,+∞)恰有一解①当时a=,可得满足。②当时，由2x=(x-a)2得x2-(2a+2)x+a2=0，令f(x)=x2-(2a+2)x+a2则的图像在(a,+∞)内与x轴恰有一交点,而另一交点在(-∞,a]，只需,(后略)此法较简，但仍需分情况讨论，可否不分呢？再回到等价转换的地方，可发现恰有一解，可利用两函数的图像只有一个公共点实现。解法三：6令t=(t0)得a=(t0)由图可知当或a=，两函数的图像只有一交点，即原方程恰有一解可见后两种解法较简，体现了数形结合，正如华罗庚教授所说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。”通过以上多解训练，学生加深了对一元二次方程，一元二次函数的图像与性质，一元二次不等式的深刻理解。达到一线串珠的效果，培养了学生思维的发散性和灵活性。2、反思结论与条件。去掉题目条件的某些约束，使特殊条件一般化，推广到较普遍性的新命题，能够证明吗？保持条件不变，把结论开拓引申，又可使题目深化。例如把射影定理的结论加以开拓引申，就得到勾股定理。如例5由解法三可知当或a=时原方程有唯一解；a时方程无实数解；a0时原方程有两个不同的实数解。3、反思解题规律，总结数学思想、方法、技巧。数学习题千变万化，但变化之中也有规律可找。掌握了解题规律，就能提高解题速度。例如有时根据需要把某些字母（或式）看作未知数而把其他字母看作常数，或把等式看作方程，这是灵活运用方程观点分析解题思路的常用方法。又例如证面面垂直时，总是先证线面垂直；而条件给出面面垂直时，又常转化成线面垂直，线线垂直。例6，（2006高考广东18题）设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1,x2处取得极小值，极大值。xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P满足=4，7点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点。求(1)求点A、B的坐标；(2)求动点Q的轨迹方程。解：(1)对y=-x3+3x+2求导得y’=-3x2+3,令y’=0解得x=±1当x-1时，y’0;当-1x1时，y’0;当x1时，y’0所以y在x=-1处取得极小值0，在x=1处取得极大值4。即点A、B的坐标分别为(-1,0)、(1,4)。(2)设P(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,4-y),由=4(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4即x2+(y-2)2=32方法一：因点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点，所以动点Q的轨迹是一个以C0(x0,y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0,y0)和C(0,2)关于直线y=2(x-4)对称，于是有故动点Q轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9方法二：设Q(u,v),因P、Q关于直线y=2(x-4)对称，故代入x2+(y-2)2=32化简得(u-8)2+(v+2)2=9Q轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9题目解完后，可引导学生反思解题规律：①数学思想在解题中的运用。题中条件=4的处理，是将向量问题坐标化，化归为代数问题处理，这是方程思想和化归思想的联合应用。事实上，当我们拿到一个新的数学问题而不知如何下手时，首先要想到的是用方程或函数的观点去看问题，往往能迅速抓住问题的实质。②方法与技巧的运用。求点的轨迹有两种基本处理方法：(1)直接法,在知道轨迹是圆的情况下，可以直接求圆心和半径；(2)相关点法，这是通法，在不知道轨迹的情况下，将Q的问题转化到P点处理，也是化归思想的体现。③解法的选择。在解题中要先想一想解决问题有几种方案，哪种方案较好，然后从最优方案入手。这也是考试时的重要解题策略。例如我们应该选择方法一，在高考时就可以节省大量时间去做其它难题。通过反思，学生加深了对数学思想方法与实际应用的领悟，逐步学会了归纳和总结。一段时间的积累后，就可达到快速解决问题的目的。可见，反思是知识转化为能力的桥梁。同时也使得我们有能力去做进一步的探究，会发现一些我们意想不到的结论。有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的数学应用意识，有利于扩展学生的视野。教师应经常的有目的多角度引导学生学会题后反思，教会学生反思，锤炼思维，提高解题能力，开发创新意识。这也是新课程的要求。8总之，通过反思可让学生沟通新旧知识的联系，挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移。同时也有利于学生建立合理的知识结构和体系。教师在教学中要让学生有时间，有机会对自己的数学学习的思维加以反思，要教会学生反思，让学生养成反思的习惯。只有学生自己去反思，才能更好地总结解决问题的基本方法、技巧和经验教训，领悟数学思想方法，优化认知结构，提高思维层次，开发智能和潜能，从而举一反三，培养自我探究的能力，真正从题海中走出来。