高中数学知识点等差数列等比数列

等差数列、等比数列知识要点：1、数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列。数列的项不能少于三项，所谓的按一定顺序排列并不是指一定具有某种可用解析式表示的规律。项与项数不同，数列实质上是一个函数值列，项是函数值，项数是自变量值。数列与集合有着本质的区别。数列的项有顺序并且必须是数，各项的值也允许重复至少要有三项；集合中的元素之间无顺序，可以不是数，元素不允许重复并且可以少于三个元素直至没有元素。数列实质上的就是定义域为N（或N的形如{1，2，…，n}的有限子集）的函数值列。应该注意N的无限子集中除N外均不能做为数列所对应的函数的定义域，有限子集也必须是规定的形式，比如：{1，3，5，…}、{2，3，4，…，10}等等就不可以。数列的通项公式afnn，前n项和公式Sgnn实质上就是函数解析式。数列的通项an与前n项和Sn的关系是数列中普遍存在的最基本的关系：SaaaaSannnnnn12112……()即aSnSSnnnn1112()()。任意数列{an}的通项an与前n项和Sn之间都存在上述关系公式。很容易知道：a0、S0等在数列{an}中没有意义，因其n的取值不在定义域中。此公式说明：知前n项和Sn一定可求出通项an。递推公式afann1是给出数列的一种方法，应该能根据递推公式写出数列的前几项。根据需要对数列的项进行变形，对数列进行总体观察会数出项数，通过对比、分析、综合、抽象概括找出规律是数列中最基本的能力，函数与方程的思想在数列中有着广泛的应用。2、等差数列：定义中要求aadnn1（d为同一个常数，nN）或aadnn1（d为同一个常数，nN且n2）。由a，A，b成等差数列可得出：Aab2的结论，其中A叫a，b的等差中项；同时由Aab2也可以得出a，A，b成等差数列且b，A，a也成等差数列的结论。aandn11（nN）这一等差数列的通项公式，教科书中用数学归纳法给出的，需要“归纳、猜想、证明”；也可以根据定义用“累加法”推得。∵aad21（d为公差）aadaadnNnnn3212……（且）将以上n1个等式相加，有aaaaaandnn213211……∴aandn11故aandn11当n1时，anda111。这说明公式此时也成立，因此，aandn11，（nN）。Snaananndnn11212，这一等差数列前n项和公式，教科书中用颠倒相加法给出的。从函数角度观察等差数列的通项公式：aandn11，会得adnadn·1的形式。若d0，an为常数列，aadn1为常数函数形式；若d0，afndnadn·1为Kdbad，1时的一次函数的形式。等差数列的前n项和公式：Snaanannddnadnnn112121222若d0，有Sann1·（a10时为正比例函数形式，a10时为常数为0的常数函数的形式）；若d0，Sgndnadnn2221为ad2，bad12，c0时的二次函数的形式。d0时，Sdnadnn2221有最小值；d0时，Sdnadnn2221有最大值。从方程观点研究等差数列的通项公式及前n项和公式，aandSnaananndnnn1111212知，对于andaSnn1，，，，中五个量知三可求另外其二。3、等比数列：定义中要求aaqnn1（q为同一个常数，nN）或aaqnn1（q为同一个常数，nN且n2）不能由aqann1·或aqann1（nN且n2）得出数列{an}为等比数列的结论，因为等比数列与零无缘。我们知道，a，G，b成等比数列Gab2即Gab。由些可见，同另两数才能有等比中项，并且不唯一有两个互为相反数的等比中项。反过来，由Gab2或Gab并不能得出a，G，b成等比数列的结论，原因是G，a，b中可能有为零者，Gab2或Gab仍成立，但a，G，b不能成等比数列。等比数列的通项公式aaqnn11·（nN）教科书中是用数学归纳法给出的，可以根据等比数列的定义用“累乘法”得到。∵，，…aaqaaqaaqnn21321（nN，n2）∴将以上n1个等式相乘，有aaaaaaqnnn213211·……∴aaqaaqnnnn1111即，·当n1时，aqan111·公式也成立，因此，aaqnn11·（nN）等比数列的前n项和公式Snaqaaqqaqqqnnn11111111()会知，用了分类计论的方法，分公比q1和q1两种情况，公式是用“错位相减法”给出的，它还可以引伸为求数列{Cn}的前n项和的方法，其中Cabnnn·，{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列。从方程观点研究等比数列的通项公式及前n项和公式aaqSnaqaaqqaqqqnnnnn1111111111·()()对于anqaSnn1，，，，中五个量知其三可求另其二。在解决等比数列的有关问题时常用除法消元的方法，要注意对公比q1，q1时进行分类讨论。