高中数学离散型随机变量的均值与方差

12.6离散型随机变量的均值与方差一、填空题1．已知随机变量X的分布列为：X－2－10123P112mn11216112其中m，n∈[0,1)，且E(X)＝16，则m，n的值分别为_______，______.解析由p1＋p2＋…＋p6＝1与E(X)＝16知m＋n＝71212－m＝16⇒m＝13，n＝14.答案13，142．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案5.253．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________．解析由题意得np＝2.4，np－p＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.答案6,0.44．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y，则Y～B(1000,0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(Y)＝200.答案2005．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．解析若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、V(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，V(Y)＝a2V(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案22.46.已知随机变量X的分布列为,则E(6X+8)等于________．解析()10EX.220.430.4=0.2+0.8+1.2=2.2,∴E(6X+8)=6E()862X答案21.27．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为________．解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163.答案1638．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析∵X～B3，14，∴V(X)＝3×14×34＝916.答案9169．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的均值E(X)＝________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B4，35，从而有E(X)＝np＝4×35＝125.答案12510．已知离散型随机变量X的概率分布如右表，若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析由题意知a＋b＋c＝1112，－a＋c＋16＝0，a＋c＋13＝1，解得a＝512，b＝14，c＝14.答案5121411．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.解析X的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝C312C316＝1128；P(X＝1)＝C212C14C316＝3370；P(X＝2)＝C112C24C316＝970；P(X＝3)＝C34C316＝1140.∴E(X)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案3412．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：x123P(X＝x)？！？请小牛同学计算X的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案213.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为______元.解析设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：X－1002500P0.20.8故E(X)＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980元.答案1980二、解答题14．一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X.(1)求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；(2)求X的分布列及X的数学期望．解析(1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A，依题意知P(A)＝C15C23＋C25C13C38＝4556.所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为4556.(2)X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝C35C38＝528，P(X＝1)＝C25C13C38＝1528，P(X＝2)＝C15C23C38＝1556，P(X＝3)＝C33C38＝156.∴X的概率分布为X0123P52815281556156所以X的数学期望为E(X)＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝98.15．有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1)求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X，求X的概率分布和均值．解析(1)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，则P(A)＝34×616＝932.(2)由题意，得X的取值有0,1,2,3，且P(X＝0)＝14，P(X＝1)＝932，P(X＝2)＝34×1016×5464＝4051024，P(X＝3)＝34×1016×1064＝751024，即随机变量的概率分布为X0123P149324051024751024所以E(X)＝0×14＋1×932＋2×4051024＋3×751024＝13231024.16．济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人游览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求ξ＝0对应的事件的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望．解析(1)分别记“该客人游览大明湖景点”，“该客人游览趵突泉景点”，“该客人游览千佛山景点”，“该客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4.由题意，知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4.故P(ξ＝0)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝0.38.(2)P(ξ＝4)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝0.12.P(ξ＝0)＝0.38，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝4)＝0.5.所以ξ的分布列为ξ024P0.380.50.12Eξ＝0×0.38＋2×0.5＋4×0.12＝1.48.17．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为X，求X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求恰好得到n(n∈N*)分的概率．解析(1)所抛5次得分X的概率为P(X＝i)＝Ci－55125(i＝5,6,7,8,9,10)，其概率分布如下：X5678910P132532516516532132E(X)＝i＝510i·Ci－5i125＝152(2)令pn表示恰好得到n分的概率，不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1－pn，“恰好得到(n－1)分”的概率是pn－1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－pn＝12pn－1，即pn－23＝－12pn－1－23.于是pn－23是以p1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列．所以pn－23＝－16－12n－1，即pn＝132＋－12n.故恰好得到n分的概率是132＋－12n.18．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站．(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)求旅客候车时间的概率分布；(3)求旅客候车时间的数学期望．解析(1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P＝12＋14＝34.(2)旅客候车时间的概率分布为候车时间(分)1030507090概率121414×1414×1214×14(3)候车时间的数学期望为10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30.故这名旅客候车时间的数学期望是30分钟．