高中数学立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角与距离

8.7立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角与距离一、填空题1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为________．解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且AM→＝12MC1→，∴(x－a，y，z)＝12(－x，a－y，a－z)∴x＝23a，y＝a3，z＝a3.得M2a3，a3，a3，∴|MN→|＝a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝216a.答案216a2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM→，D1N→〉的值为________．解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM→＝(2，－2,1)，D1N→＝(2,2，－1)，cos〈CM→，D1N→〉＝－19，所以sin〈CM→，D1N→〉＝459.答案4593．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________．解析两平面的一个单位法向量n0＝－22，0，22，故两平面间的距离d＝|OA→·n0|＝22.答案224．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1→＝(－1,0,2)，AE→＝(－1,2,1)，cos〈BC1→，AE→〉＝BC1→·AE→|BC1→||AE→|＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.答案30105．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是________．解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO→＝(－1,1－t，－2)，AM→＝(－2,0,1)，NO→·AM→＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案异面垂直6．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________.解析如图，建立直角坐标系D­xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝2.答案27．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF所成的角为________．解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件G0，0，12，B()1，1，0，E1，1，12，F34，1，0，GB→＝1，1，－12，EF→＝－14，0，－12cos〈GB→，EF→〉＝GB→·EF→|GB→||EF→|＝0，则GB→⊥EF→.答案90°8．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P0，－a2，a2.则CA→＝(2a,0,0)，AP→＝－a，－a2，a2，CB→＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB→，n〉＝CB→·n|CB→||n|＝a2a2·2＝12.∴〈CB→，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.答案30°9．已知点E、F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E1，1，13，F0，1，23AE→＝0，1，13，AF→＝－1，1，23设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为θ由n·AE→＝0，n·AF→＝0，y＋13z＝0，－x＋y＋23z＝0.令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)cosθ＝cos〈n，m〉＝311，tanθ＝23.答案2310．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为________．解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则Pa2，0，32a，C(0，a,0)，则MC＝x2＋y－a2，MP＝x－a22＋y2＋32a2.由MP＝MC得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝12x的一部分．答案①11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥PABC的体积为________．解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设BP→＝λBD1→，可得：P(λ，λ，λ)．再由cos∠APC＝AP→·CP→|AP→|·|CP→|可求得当λ＝13时，∠APC最大．故VPABC＝13×12×1×1×13＝118.答案11812．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α­AB­β的大小为________．解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝22a，PF＝22b，∴EM→·FN→＝(PM→－PE→)·(PN→－PF→)＝PM→·PN→－PM→·PF→－PE→·PN→＋PE→·PF→＝abcos60°－a×22bcos45°－22abcos45°＋22a×22b＝ab2－ab2－ab2＋ab2＝0，∴EM→⊥FN→，∴二面角α­AB­β的大小为90°.答案90°13．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析由已知得89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.答案－2或255二、解答题14.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得AD＝4－t，所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，CD＝(－1,1,0)，PD＝(0,4－t，－t)．设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥CD，n⊥PD，得－x＋y＝0，－ty－tz＝0.取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．又PB＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos60°＝|n·PB|n|·|PB||，即|2t2－4t|t2＋t2＋－t2·2t2＝12，解得t＝45或t＝4(舍去，因为AD＝4－t0)，所以AB＝45.15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B­AM­C的平面角的大小．解析(1)证明以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则B(1,0,0)，A(0，3，0)，A1(0，3，6)，M0，0，62.所以A1B→＝(1，－3，－6)，AM→＝0，－3，62.因为A1B→·AM→＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×62＝0，所以A1B⊥AM.(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC.所以CB→是平面AMC的一个法向量，CB→＝(1,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM→＝－1，0，62.由n·BA→＝0，n·BM→＝0，得－x＋3y＝0，－x＋62z＝0，令x＝6，得y＝2，z＝2.所以n＝(6，2，2)因为|CB→|＝1，|n|＝23，所以cos〈CB→，n〉＝CB→·n|CB→||n|＝22，因此二面角B­AM­C的大小为45°.16．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)．(1)如果AE＝C1F，试证明B，E，D1，F四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于π6？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由．解析(1)证明以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AE＝GF＝t.则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(1,1,1－t)，其中0≤t≤1.则BE→＝FD1→＝(－1,0，t)，所以BE∥FD1.所以B，E，D1，F四点共面．(2)BA1→＝(－1,0,1)，BE→＝(－1,0，t)，BF→＝(0,1,1－t)，可求平面BFE的法向量n＝(t，t－1,1)，若直线A1B与平面BFE所成的角等于π6，则有sinπ6＝BA1→·n|BA1→||n|，即12＝1－t2·t2＋t－2＋1，解得t＝0，所以点E存在，且坐标为E(0,0,0)，即E在顶点A处．17．如图所示，在四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明：AD⊥CE；(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C­AD­E的大小．解析(1)证明取BC中点O，连接AO，则AO⊥BC由已知条件AO⊥平面BCDE，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，t)，D(1，2，0)C(1,0,0)，E(－1，2，0)，AD→＝(1，2，－t)CE→＝(－2，2，0)则AD→·CE→＝0，因此AD⊥CE.(2)作CF⊥AD垂足为F，连接EF，则AD⊥平面CEF从而EF⊥AD则∠CFE为二面角C­AD­E的平面角．在Rt△ACD中，CF＝AC·CDAD＝233，在等腰△ADE中，EF＝303，cos∠CFE＝CF2＋EF2－CE22CF·EF＝－1010.∴二面角C-AD-E的余