高中数学竞赛(排列组合概率)

概率、统计【知识精要】1．排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解决此类问题常见要点：（1）不重复，不遗漏；（2）正面考虑比较麻烦时，考虑间接法；（2）特殊位置、元素优先考虑；（3）转化思想，对于陌生问题，尽量转化为熟悉模型。2．隔板法模型：将m个名额分给k个人()mk，每人至少一个的方法是11kmC；引申1：方程12kxxxm(1,,)iixxZmZ的解有11kmC组；引申2：方程12kxxxm(0,,)iixxZmZ的解有11kmkC组。【例题精讲】+【习题精练】例1：3个人传球，由甲发球，5次传球之后，仍回到甲手中，有多少种传球方法？解：将问题转化为右图填图问题。中间可能有甲或无甲，则有1122222210CCAA种不同的传球方法。练习1：（2000全国高中数学联赛）如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.例2：使直线1axby和圆2250xy只有整数公共点的有序实数对(,)ab的个数为：（）A、72B、74C、78D、82解：第一象限圆上有(7,1),(5,5),(1,7)三个整点，故平面上有12个整点，分割线或切线，共2121278C条，但该直线不过原点，减去6条，共有72条，选A。练习2：（05年江苏高中数学竞赛）由三个数字1、2、3组成的5位数中,1、2、3都至少出现1次,这样的5位数共有.例3：（2005全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，任选两条为异面直线的概率是：。解：全部情况有215105C种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件A，而要使两直线异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3组异面直线，则事件A的可能情况有463(3)36C种，故3612()10535PA。即任选两条为异面直线的概率为1235。练习3：（02年全国联赛题改编）已知点1021,,,PPP分别是四面体的顶甲甲点或棱的中点，那么四点组),,,(1kjiPPPP（101kji）在同一平面上的概率为．练习4：（09安徽高考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）（A）751（B）752（C）753（D）754例4：（2005全国高中数学联赛）如果自然数a的各位数字之和为7，那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列1234,,,,,aaaa若2005na，则5na。解：设12kxxx为k为吉祥数，11,0(2,3,,)ixxik，则127kxxx（1）令11yx，1(2,3,,)iiyxik，则（1）为1236kyyyyk（2）方程（2）正整数解个数即k为吉祥数的个数，记为()Pk。利用隔板法有()Pk1655kkkCC个。而2005是形如2342xxx数中最小吉祥数，且(1)1,(2)7,(3)28.PPP对于四位吉祥数2341xxx，其个数为满足2346xxx的非负整数解的个数，即6828C个，故2005是第172828165个吉祥数，即65n，5325n，又66910(4)84,(5)210PCPC，故51()172884210330kPk。而5位吉祥数中最后的5个倒过来依次为70000，61000，60100，60010，52000，则第325个吉祥数为52000，即5na52000。练习5：从数1,2,3,,14中，按从小到大的排序取出123,,aaa三个数，且21323,3aaaa，则符合条件的不同取法有多少种？练习6：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，求不同的染色方法的总数。练习7：从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染不同的颜色，则不同的染色方法有多少种？