高中数学竞赛专题讲座三角函数与向量

1高一数学竞赛专题：三角函数与向量一、三角函数部分1．(集训试题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且AC，ABsinsin都是方程logbx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）A．x=π/3B．x=2π/3C．x=11π/6D．x=π3．（2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定4．（2006年南昌市）若sintana,coscotb,则以下诸式中错误的是()A．sin=11babB．cos11aabC．tancot=)1)(1(21)1(2baabbaD．tancot=)1)(1()2)((bababa5．（2006安徽初赛）已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是（）A．锐角B．钝角C．直角D．不能确定6．（2006陕西赛区预赛）若33sincoscossin,02，则角的取值范围是()A．[0,]4B．[,]4C．5[,]44D．3[,)427．（2006年江苏）在△ABC中，1tan2A，310cos10B．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为（）A．455B．355C．255D．558．(2005年浙江)设2)(1xf，xxxf2cossin)(2，xxxf2cos2sin)(3，24sin)(xxf，上述函数中，周期函数的个数是（）A．1B．2C．3D．49．(2005年浙江)若1sinsinyx，则yxcoscos的取值范围是（）A．]2,2[B．]1,1[C．]3,0[D．]3,3[210．(2005全国)ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于1A、1B、1C，则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A．2B．4C．6D．811．（2006陕西赛区预赛）已知为锐角，且cos31cos3，则sin3sin___12．（2004年浙江省预赛）设,,,),,2,1(RniRai且，0则对任意Rx，nixixixixixixiaaaaaa1)()()(111111.13．（2006年浙江省预赛）设ba,是非零实数，Rx，若，2224241cossinbabxax则2006200820062008cossinbxax_______________.14．（2006天津）在ABCRt中，c，r，S分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是．15．（2006天津）已知)sin3,cos2(A，)sin3,cos2(B，)0,1(C是平面上三个不同的点，且满足关系式BCCA，则实数的取值范围是__．16．（2006年江苏）设2cos23，则44cossin的值是．17．（2006吉林预赛）若41)12(sin)12(sin22xx，且)43,2(x，则tanx的值为__________.18（2006年南昌市）已知sincos=52,(2＜＜),则tancot=__________.19．（2006年上海）设(2)nn是给定的整数，12,,,nxxx是实数，则1223sincossincosxxxx1sincosnxx的最大值是．20．（2004全国）在平面直角坐标系xoy中，函数()sincos(0)fxaaxaxa在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1gxa的图像所围成的封闭图形的面积是________________.21．(2005全国)设、、满足20，若对于任意,0)cos()cos()cos(,xxxRx则___________.3二、向量部分1．(集训试题)已知a=(cos32π,sin32π),baOA,baOB，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．21C．2D．232．（2004全国）设O点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（）A．2B．32C．3D．533．（2006陕西赛区预赛）如图1，设P为△ABC内一点，且2155APABAC，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为()A．15B．25C．14D．134．(2005年浙江)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而13||c，3ac，4bc.则对于任意实数21,tt，||21btatc的最小值是（）A．5B．7C．12D．135．(2005全国)空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个6．（2006吉林预赛）已知P为△ABC内一点，且满足0543PCPBPA，那么S△PAB：S△PBC：S△PCA=.7．（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为1,0A,重心G对应的向量为2,0G,则三角形另二个顶点B、C对应的向量为______________.8．（2006年浙江省预赛）手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作1iitt，则2111243323221tttttttttttt＝.9.（2009年温州预赛）如图，已知O为ABC的外心，,,abc分别是角A、B、C的对边，且满足COABBOCA。（1）推导出三边,,abc之间的关系式；（2）求tantantantanAABC的值。CABO