高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线

2012暑期专题——几何（1）从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则ABDC四点共圆．KNMOABCD图1本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。知识介绍定义1线束和点列的交比：如图2，共点于O的四条直线被任意直线所截的有向线段比/ACBCADBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列ACBD的交比。[1]定理1线束的交比与所截直线无关。BCOAD图2证明：本文用[ABC]表示ABC面积，则[][]//[][]ACBCAOCBOCAODBODADBDsinsin/sinsinsinsin/sinsinCOAOCCOCOBDOAODDOBODAOCCOBAODBOD从而可知线束交比与所截直线无关。定义2调和线束与调和点列：交比为-1，即ACBCADBD的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。定理2调和点列常见形式：（O为CD中点）（1）、211DCAABA（2）、2*OCOBOA(3)、AC*AD=AB*AO(4)、AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。定理3一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略）定义3完全四边形：如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF，AC、BD、EF称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。定理4完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。GIHCAEDBF图3分析：只需证EHFI为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。证法一：面积法[][][][]HEIFAECBDFHFIEAFCBDE[][][][][][][][]AECACDBDFBEFACDAFCBEFBDE1ECADDCAFCDAFECAD，即HEIEHFIF。证法二：由Ceva定理1BEABDAFDHFEH，由Menelaus定理得到1BEABDAFDIFEI，故HEIEHFIF，即EHFI为调和点列。定理5完全四边形ABCDEF中，四个三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel）点。证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。OCDABP图4定义4阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两定点A、B距离之比为定值k（01kk且）的点的轨迹为圆，称为Apollonius圆，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决[2]（注：当k=1时轨迹为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。证明：如图4由AP=kPB，则在AB直线上有两点C、D满足,ACADAPBCBDBP故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线，则CP⊥DP，即P点的轨迹为以CD为直径的圆O(O为CD中点)。（注：解析法亦可证得）显然图4中ACBD为调和点列。定理6在图4中，当且仅当PB⊥AB时，AP为圆O的切线。证明：当PB⊥AB时∠APC=∠BPC=∠CDP故AP为圆O的切线，反之亦然。定理7Apollonius圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1.PC（或PD）为∠APB内（外）角平分线2.CP⊥PD3.ACBD构成调和点列（证略）定义5反演：设A为○O（r）平面上点，B在射线OA上，且满足OA*OB=r*r，则称A、B以○O为基圆互为反演点。定理8图4中，以Apollonius圆为基圆，AB互为反演点。（由定理2（2）即得。）定义6极线与极点：设A、B关于○O（r）互为反演点，过B做OA的垂线l称为A点对圆O的极线；A点称为l的极点。[3]定理9当A点在○O外时，A的极线为A的切点弦。（由定理6即得。）BQCPOAD图5定理10若A的极线为l，过A的圆的割线ACD交l于B点，则ACBD为调和点列。证明：如图5，设A的切点弦为PQ，则[][]BCQPCCPCQAPACACBDQPDDPDQADAQAD即ACBD为调和点列。定理11配极定理：如图6，若A点的极线通过另一点D，则D点的极线也通过A。一般的称A、D互为共轭点。证法一：几何法，作AF⊥OD于F，则DFGA共圆，得OF*OD=OG*OA=2OI，由定义6知AF即为D的极线。GFJIHCBOAD图6证法二：解析法，设圆O为单位圆，A（11,xy）,D（22,xy），A的极线方程为111xxyy，由D在其上，得21211xxyy，则A在221xxyy上，即A在D的极线上。定理12在图6中，若A、D共轭，则22222222ADA+DODG+DG(G+BG)+(DGBG)=A+DOAAA的幂的幂（对圆）证明：的幂的幂(对圆)定义7调和四边形：对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名）定理13图5中PDQC为调和四边形。证明：由定理9的证明过程即得。例题选讲例1如图7，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为△PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）分析：其本质显然为Apollonius圆。证明：由定理6知圆O为P、M的Apollonius圆，则DI、EI分别为△PDE的内角平分线，即I为△PDE内心。IDMABOPE图7例2如图8，△ABC中，AD⊥BC，H为AD上任一点，则∠ADF=∠ADE（1994年加拿大数学奥林匹克试题）LKEFDABCH图8证明：对完全四边形AFHEBC，由定理4知FLEK为调和点列。又AD⊥BC，由定理7得∠ADF=∠ADE。JGIHCAEDBF图9例3如图9，完全四边形ABCDEF中，GJ⊥EF与J，则∠BJA=∠DJC（2002年中国国家集训队选拔考试题）证明：由定理4及定理7有∠BJG=∠DJG且∠AJG=∠CJG，则∠BJA=∠DJC。21PDYQD'IXEFABC图10例4已知：如图10，△ABC内角平分线BE、CF交于I，过I做IQ⊥EF交BC于P，且IP=2IQ。求证：∠BAC=60°证明：做AX⊥EF交BC于Y，由定理4知AD’ID为调和点列，故''IQDIDIPIAXDADAYA，又IP=2IQ，则AX=XY，即EF为AY中垂线，由正弦定理12CFFYFACFsinFYCsinsinsinFAC，则AFYC共圆，同理AEYB共圆，故∠BYF=∠BAC=∠CYE=∠EYF，故∠BAC=60°。EFGCABOPD图9例5如图11，P为圆O外一点，PA、PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割线，CF平行PA且交AB于E。求证：CE=EF（2006国家集训队培训题）证明：由定理10及定理3即得。例6如图12，PAB、PCD为圆O割线，AD交BC于E，AC交BD于F，则EF为P的极线。（1997年CMO试题等价表述）证法一：作AEB外接圆交PE于M，则PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圆（其实P为三圆根心且M为PAECBD密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD，BOMD共圆。∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M为ST中点，PS*PT=PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P极线上，同理F亦然，故EF为P的极线。STMECAOPBD图10WVUTSECAOPBD图11证法二：如图13，设PS、PT为圆O切线。在△ABT中，可以得到**AUBVTWUBVTWAsinsinsinsinsinsinASASTBDBDATCTCBBSBSTDTTDAACACB1ASBDTCPSPBPCBSACDTPBPCPT由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三线共点于E，同理F亦然，故EF为P的极线。至此，点P在圆O外时，我们得到了P点极线的四种常见的等价定义：1、过P反演点做的OP的垂线。2、过P任意作割线PAB，AB上与PAB构成调和点列的点的轨迹所在的直线。3、P对圆O的切点弦。4、过P任意做两条割线PAB、PCD，AD、BC交点与AC、BD交点的连线。(注：切线为割线特殊情形，故3、4是统一的)例7△ABC内切圆I分别切BC、AB于D、F，AD、CF分别交I于G、H。求证：3DFGHFGDH(2010年东南数学奥林匹克)HGCBAIFDE图12证明：如图14，由定理13知GFDE为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE，同理HF*DE=2DH*EF相乘得GD*FH=4DH*FG又由托勒密定理GD*FH=DH*FG+FD*GH，代入即得3DFGHFGDHFGJKECABHDI图13例8已知：如图15，△ABC内切圆切BC于D，AD交圆于E，作CF=CD，CF交BE于G。求证：GF=FC（2008年国家队选拔）证明：设另两切点为H、I，HI交BD于J，连JE。由定理10知AEKD为调和点列，由定理11知AD的极点在HI上，又AD极点在BD上，故J为AD极点；则JE为切线，BDCJ为调和点列，由CF=CD且JD=JE知CF//JE，由定理3知GF=FC。（注：例8中BDCJ为一组常见调和点列）例9如图16，圆内接完全四边形ABCDEF中AC交BD于G，则EFGO构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心）。证明：据例6知EG，FG共轭，由定理122222(EGFGEGGEFEOFO的幂的幂)-(F的幂的幂)=的幂的幂=则OG⊥EF，其余垂直同理可证。PGFEOABDC图14注：△EFG称为极线三角形。本题结论优美深刻，初版于1929年的[4]已有介绍，它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、Apollonius圆、垂心组等几何中的核心内容。本文开头提到的2010年联赛题为本题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的反证法在情理之中：如图1，设D不在圆O上，令AD交圆O于E，CE交AB于P，BE交AC于Q。由例9得PQ//MN；由定理4得MN、AD调和分割BC，同理PQ亦然，则PQ//MN//BC，从而K为BC中点，矛盾！故ABCD共圆。其实本题也可直接证明，如下：如图17，由例3得∠1=∠2；又K不是BC中点，类似例4证明可得OBJC共圆；∠MJB=∠NJC=12BOC=∠BAC，由定理5得J为ABDCMN密克点，则∠BDM=∠BJM=∠BAN故ABDC共圆。21JKNMOABCD图15以例9为背景的赛题层出不穷，再举几例，以飨读者。例10△ADE中，过AD的圆O与AE、DE分别交于B、C，BD交AC于G，直线OG与△ADE外接圆交于P。求证：△PBD、△PAC共内心（2004年泰国数学奥林匹克）分析：本题显然为密克点、Apollonius圆、极线及例9等深刻结论的简单组合。证明：如图16，由定理5及例9知PG互为反演点，据定理8知圆O为PG的Apollonius圆，由例1知△PBD与△PAC共内心。例11△ABC中，D在边BC上且使得∠DAC=∠ABC，圆O通过BD且分别交AB、AD于E、F，DE交BF于G，M为AG中点，求证：CM⊥AO（2009年国家队选拔）KLJMGCAOBDEF图16证明：如图18，设EF交BC于J。由定理3得AKGL为调和点列，由定理2（4）有LK*GM=LG*KA