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高中数学竞赛平面几何讲座第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆于F,则可得EB＝EF,从而获取.证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.故EB＝EF.作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF.因∠GEF＝∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝FC.于是,BF＝2CF.故BD＝2CD.1.2利用四点共圆例2凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.则sin∠AOB＝____.分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.设AD＝x,有AP＝x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC=BP＝4－.由托勒密定理有BD?CA＝(4－)(2－2)＋2×1＝10－12.又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝.故sin∠AOB＝例3已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证：△ABC的面积S＝AP?BD.分析：因S△ABC＝BC2＝AC?BC,只须证AC?BC＝AP?BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与AH交点).证明：记BD与AH交于点Q,则由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ.又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ,∴△APC∽△BCD.∴AC?BC＝AP?BD.于是,S＝AC?BC＝AP?BD.2构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例4如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与p、q的关系.解：延长CD交半径为p的⊙D于E点,连结AE.显然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD,∴弧BC＝弧AE.从而,BC＝AE＝q.在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故AC＝＝.2.2联想直径的性质构造辅助圆例5已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是____.分析：由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而可确定动点A的范围,进而确定AD的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),对称轴为x＝1,与x轴交于两点B(－2,0)、C(4,0).分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E,则两圆与抛物线均交于两点P(1－2,1)、Q(1＋2,1).可知,点A在不含端点的抛物线PA0Q内时,∠BAC＜90°.且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9,即AD的取值范围是3＜AD≤9.2.3联想圆幂定理构造辅助圆例6AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平行线交AD于M,交AC于N.求证：AB2－AN2＝BM?BN.分析：因AB2－AN2＝(AB＋AN)(AB－AN)＝BM?BN,而由题设易知AM＝AN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM＝AN.以AM长为半径作⊙A,交AB于F,交BA的延长线于E.则AE＝AF＝AN.由割线定理有BM?BN＝BF?BE＝(AB＋AE)(AB－AF)＝(AB＋AN)(AB－AN)＝AB2－AN2,即AB2－AN2＝BM?BN.例7如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2.分析：因EP和FQ是⊙O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ向EF转化.证明：如图7,作△BCE的外接圆交EF于G,连结CG.因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F、D、C、G四点共圆.由切割线定理,有EF2＝(EG＋GF)?EF＝EG?EF＋GF?EF＝EC?ED＋FC?FB＝EC?ED＋FC?FB＝EP2＋FQ2,即EP2＋FQ2＝EF2.2.4联想托勒密定理构造辅助圆例8如图8,△ABC与△A＇B＇C＇的三边分别为a、b、c与a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇.分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,∠BCD＝∠B＝∠B＇,∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD.∴△A＇B＇C＇∽△DCB.有＝＝,即＝＝.故DC＝,DB＝.又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a.从而,由托勒密定理,得AD?BC＝AB?DC＋AC?BD,即a2＝c?＋b?.故aa＇＝bb＇＋cc＇.练习题1.作一个辅助圆证明：△ABC中,若AD平分∠A,则＝.(提示：不妨设AB≥AC,作△ADC的外接圆交AB于E,证△ABC∽△DBE,从而＝＝.)2.已知凸五边形ABCDE中,∠BAE＝3a,BC＝CD＝DE,∠BCD＝∠CDE＝180°－2a.求证：∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.(提示：由已知证明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,从而A、B、C、D、E共圆,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.)3.在△ABC中AB＝BC,∠ABC＝20°,在AB边上取一点M,使BM＝AC.求∠AMC的度数.(提示：以BC为边在△ABC外作正△KBC,连结KM,证B、M、C共圆,从而∠BCM＝∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.)4．如图10,AC是ABCD较长的对角线,过C作CF⊥AF,CE⊥AE.求证：AB?AE＋AD?AF＝AC2.(提示：分别以BC和CD为直径作圆交AC于点G、H.则CG＝AH,由割线定理可证得结论.)5.如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线CD过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC＝AD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证：AC2＝AB?AE.(提示：作△BCD的外接圆⊙O3,延长BA交⊙O3于F,证E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AE＝AF,由相交弦定理即得结论.)6．已知E是△ABC的外接圆之劣弧BC的中点.求证：AB?AC＝AE2－BE2.(提示：以BE为半径作辅助圆⊙E,交AE及其延长线于N、M,由△ANC∽△ABM证AB?AC＝AN?AM.)7.若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,试证：－＝1.(提示：证b2＝a2＋ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)