高中数学竞赛讲义-数列

-1-§11数列一、数列的基础知识1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。常见类型：类型Ⅰ：为常数）aaanpnqanpann()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1pqpaann（2）)0()(1pnqpaann（3）)0()(1pqanpann解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型Ⅱ：为常数）babaaaqpqapaannn,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法:利用特征方程x2=px+q,求其根α、β,构造an=Aαn+Bβn，代入初始值求得BA,。类型Ⅲ：an+1=f(an)其中函数f(x)为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b－c)logmx+(c－a)logmy+(a－b)logmz＝0①(1)若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列；(2)若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列．2.数列｛an｝的前n项和Sn＝a·2n+b（nN），则｛an｝为等比数列的充要条件是________．-2-3.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S7＝56，Sn＝420，an－3＝34，则n＝________．4.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135.各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。6.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=.7．已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1,a2,a3,…,an组成等差数列（n为正偶数），又f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求数列{an}的通项an；（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。8．在1与2之间插入个正数a1,a2,a3,…,an，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插入个正数b1,b2,b3,…,bn，使这n+2个正数成等差数列。记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.（1）求数列{An}和{Bn}的通项；（2）当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。-3-9.设任意实数x,y满足|x|1,|y|1,求证：(第19届莫斯科数学竞赛试题)10.从n个数1,a,a2,…,an(a2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等11.已知a1=2，an=1n2a2，求数列{an}的通项公式。12.正整数k，g（k）表示k的最大奇因子（例如g（3）=3，g（20）=5），求g（1）+g（2）+g（3）+……..+g（2n）(其中n∈N*)13.将数字1，2，3，……..，n填入标号为1，2，3，……，n的n个方格内，每格一个数字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？14.用1，2，3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少个n位数？-4-15.设数列{an}和{bn}满足a0=1，b0=0，且4-7b8ab3-6b7aann1-n1nnn1（n=0，1，2，……….）证明：an（n=0，1，2，…..）是完全平方数16.已知a,b均为正整数,且ab,sinθ=22ba2ab(其中02),An=(a2+b2)nsinnθ求证:对一切正整数n,2abAn均为整数17.（1）证明：;3!n2n...........!37!22)!1n(232（2）求正整数a,b，c，使得对任意*Nn（n2），有b!nan......!3a3!2a2)!2n(cb33318.设A，E为正八边形的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点A恰好跳n次后到E的方法数为an，求an19.为这些排列的数目，的任意一排列，设，，，表示整数)(.....21,.......,21nfnaaan使得：（1）a1=1（2）|ai-ai+1|≤2（i=1,2,……,n-1）.确定f(1996)是否能被3整除-5-