高中数学竞赛辅导第六讲不等式的应用参数取值范围问题

-1-高中数学竞赛辅导第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组naaa21及.21nbbb则nnbababa2211（同序和）jnnjjbababa2211（乱序和）1121bababannn（逆序和）其中njjj,,,21是1，2，…，n的任一排列.当且仅当naaa21或nbbb21时等号（对任一排列njjj,,,21）成立.证明：不妨设在乱序和S中njn时（若njn，则考虑1nj），且在和S中含有项),(nkbank则.nnjnnjnnkbabababan①事实上，左－右=,0))((njnknbbaa由此可知，当njn时，调换nkjnjkjbababaS11（njn）中nb与nj位置（其余不动），所得新和.1SS调整好na及nb后，接着再仿上调整1na与1nb，又得.12SS如此至多经1n次调整得顺序和nnbababa2211jnnjjbababa2211②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当naaa21或nbbb21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在nj及k，使nb.,knjaabn这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”.II．应用排序不等式可证明“平均不等式”：-2-设有n个正数naaa,,,21的算术平均数和几何平均数分别是nnnnnaaaGnaaaA2121和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nnaaanH11121，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）naaaQnn22221这四个平均值有以下关系nnnnQAGH.○*其中等号成立的充分必要条件都是naaa21.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.nnGA记1,,,2121211nnnGaaaxGaaxGax；.1,,1,12211nnxyxyxy由于数组nxxx,,,21和数组nyyy,,,21中对应的数互为倒数，由排序不等式得nnyxyxyx1211（逆序和）1121,nnnyxyxyx，即.21nnnnGaGaGan从而.nnGA等号当且仅当nxxx21或nyyy21时成立，而这两者都可得到naaa21.下面证明.nnHG对n个正数naaa1,,1,121应用,nnAG得-3-.1111112121nnnaaanaaa即.nnHG（符号成立的条件是显然的）.最后证明,nnQA它等价于.0)()(22122221nnaaaaaan而上式左边=2223221221221)()()()()(nnaaaaaaaaaa0)(21nnaa，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，nnQA对一切Raaan,,,21成立.III．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：设1a、2a、3a，…，na是任意实数，则).)(()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号当且仅当kkabii(为常数，),,2,1ni时成立.证明：不妨设),,2,1(niai不全为0，ib也不全为0（因为ia或ib全为0时，不等式显然成立）.记A=22221naaa，B=22221nbbb.且令),,,2,1(,niBbyAaxiiii则.1,12222122221nnyyyxxx于是原不等式成为.12211nnyxyxyx即)(22211nnyxyxyx2222122221nnyyyxxx.它等价于.0)()()(2222211nnyxyxyx其中等号成立的充要条件是).,,2,1(niyxii从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BAkkabii-4-IV．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若naaa21，nbbb21，则.21212211nbbbnaaanbababannnn证明：由题设和排序不等式，有nnbababa2211=nnbababa2211，132212211babababababannn，…….11212211nnnnnbabababababa将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.赛题精讲I．排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对Rcba,,，比较accbbacba222333与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数.,,;,,222cbacba不管cba,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和accbbacba222333，故accbbacba222333.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：Rcba,,，求证.222222222222abccabbcabacacbcbacba【思路分析】应先将a、b、c三个不失一般性地规定为.0cba【略解】由于不等式关于a、b、c对称，可设.0cba于是abccba111,222.-5-由排序不等式，得accbbaccbbaa111)(111222222逆序和（乱序和）.及.111111222222bcabcaccbbaa以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abcabccba111,0333及，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成.【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.例3：在△ABC中，试证：.23cbacCbBaA【思路分析】可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】不妨设cba，于是.CBA由排序不等式，得.,,bCaBcAcCbBaAaCcBbAcCbBaAcCbBaAcCbBaA相加，得)())(()(3cbaCBAcbacCbBaA，得3cbacCbBaA①又由,0,0,0bcacbaacb有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cCbBaAcbaCcBbAaCBAcBCAbACBabcaBcbaCacbA得.2cbacCbBaA②由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例4：设naaa,,,21是互不相同的自然数，试证.212112221naaann【思路分析】应先构造两个由小到大的排序.【略解】将naaa,,,21按由小到大的顺序排成njjjaaa21其中njjj,,,21是1，2，…，n的一个排列，则.,2,121naaanjjj于是由排序不等式，得.12112222222121nnaaanaaanjjjn-6-例5：设nbbb,,,21是正数naaa,,,21的一个排列，求证.2211nbababann【思路分析】应注意到),,2,1(11niaaii【略证】不妨设naaa21，因为naaa,,,21都大于0.所以有naaa11121，又nnaaabbb1,,1,11,,1,12121是的任意一个排列，于是得到.11111122112211nnnnbababaaaaaaan【评述】此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数cba,,的乘积1abc，试证：.1)11)(11)(11(accbba【略解】设xzczybyxa,,，这里zyx,,都是正数，则原需证明的不等式化为yxzxzyzyxxyzyxzxzyzyx,,,))()((显然中最多只有一个非负数.若yxzxzyzyx,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若yxzxzyzyx,,均为正数，则zyx,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222zyxzyxzyxzyxyxzxzyzyx故得.))()((xyzyxzxzyzyx【评述】利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a、b、c的乘积,1abc证明.23)(1)(1)(1222bacacbcba证明：设1,1,1,1xyzzcybxa则，且所需证明的不等式可化为23222yxzxzyzyx，现不妨设zyx，则-7-yxzxzyzyx，据排序不等式得yxzxzyzyx222yxzyxzyxzyxz及yxzxzyzyx222yxzxxzyzzyxy两式相加并化简可得)(2222yxzxzyzyx.333xyzzyx例7：设实数nnnzzzyyyxxx,,,,,212121是nyyy,,,21的一个置换，证明：niiiniiizxyx1212.)()(【略解】显然所需证不等式等价于niiiniiizxyx11,这由排序不等式可直接得到.【评述】应用此例的证法可立证下题：设ka是两两互异的正整数（),2,1k，证明对任意正整数n，均有ninikkka112.1证明：设nbbb,,,21是naaa,,,21的一个排列，使nbbb21，则从条件知对每个kbnkk,1，于是由排序不等式可知niniknikkkbka11212.1II．柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.例8：设Rxxxn,,,21，求证：.211221322221nnnnxxxxxxxxxxx【思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】∵0,,,21nxxx，故由柯西不等式，得-8-))((1221322221132xxxxxxxxxxxxnnnn2111323212)(xxxxxxxxxxxxnnnn2121)(nnxxxx，∴.211221322221nnnnxxxxxxxxxxx【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.-9-针对性训练题1．设a、b、cR，利用排序不等式证明：（1）bababaabba(）；（2）baaccbcbacbacba222；（3）23bacacbcba；（4）.101010121212cbaabccabbca2．设a、b、c是三角形三边的长，求证：.3cbacbacbacba3．已知a、b、c*N，并且,,,cbabacacb求证：.1