高中数学第2章《数列》教案苏教版必修5

1本章复习与小结（2）一、递推关系通项公式的求法：对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如)(1nfaann递推式。由累加法可求得通项公式为：）（11faan)1()2(nff。例1．（2007北京高考题）数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式模式二：形如)(1nfaann递推式。由)(1nfaann得)(1nfaann，使用累乘法可得)1()1(1fnfaan。例2．已知数列}{na满足，11a，nnaann11，求通项公式na。模式三：形如nnaa1（其中、为常数）递推式，通常解法是设1na)(na，求出，因}{1nnaa是等比数列则可求出通项公式。例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，,2,1n,3．（I）求na的通项公式；（II）略。模式四：形如)(1nfaann（其中为常数）递推式，nnnaa1（、为常数）是其特殊情形。后者的等式两边同除以n，得111nnnnaa，令1nnnab，则可化归为nnaa1（、为常数）型。例4．（2007天津高考题）在数列na中，naaannnn(2)2(,2111)N，其中0．（I）求数列na的通项公式；（II）略；模式五：形如)()(1nganfann（其中为常数）递推式，设数列)}({nh，使)1()()(nhnhnf，则2)()1()(1nganhnhann，即）nhngnhanhann1()()()1(1，令)(nhabnn，则)1()(1nhngbbnn，即已化为模式一。例5．已知数列na满足nannann)2(1，且11a，求数列na的通项公式。模式六：形如nnaa1(,0,0,0na且)1递推式，它的推广形式为)(1nfnnaa。通过对等式两边取对数，得lglglg1nnaa，再令nnablg，即转化为类型一例6．已知数列}{na满足211,2nnaaa，求na。模式七：形如11nnnaaa（其中、是不为零的常数）递推式，可变形为2na)(11nnnaaa，则}{1nnaa是公比为的等比数列，这就转化为了模式三。例7．（2006福建文科高考题）已知数列na满足,3,121aannnaaa2312,n()N。（I）略；（II）求数列na的通项公式；模式八：形如nnnnaaaa11及其变形形式nnnaaa1和nnnnaaaa11（其中、是不为零的常数）递推式。对nnnnaaaa11两边同除以1nnaa，再令111nnab，nnab1，即化为等差数列形式。例8．（2005重庆高考题）数列}{na满足11a且).1(05216811naaaannnn记).1(211nabnn（I）略；（Ⅱ）求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS模式九：形如)()()(11nhaanganfannnn（其中0)(nf）递推式，它是模式八的推广。通常两边同除以1naaa，得)()()(1nhanganfnn，有)()()()(111nfnhnfngaann，再令nnab1，得)()()()(1nfnhnfngbbnn，这就化为了模式五。3例9．（2006江西高考题）已知数列｛an｝满足：231a，且),2(12311Nnnnanaannn，（I）求数列｛an｝的通项公式；（2）略。解：（I）将条件变为：)11(3111nnanan，因此}1{nan为一个等比数列，其首项为1－11a＝13，公比13，从而nnan311，据此可得)1(133nnannn.模式十：形如nnnaaa21（其中、是不为零的常数）递推式，将原式转化为21)(nnaa，然后再通过迭代进行求解。例10．（2005江西高考题）已知数列:,}{且满足的各项都是正数na10a，nnaa211).4(na，.Nn（1）略；（2）求数列}{na的通项公式an.模式十一：形如nnnaaa1（、、、为常数）递推式，解常解法为：先设函数xxxf)(，视1na、na为x得到特征方程xxx，再以此方程的解的情况来求解。若此方程无解，则此数列为循环数列；若特征方程xxx有两个不等的实根1x、2x，则nnnaaa1可变形为212111xaxakxaxannnn（其中21xxk）；若特征方程xxx有两个相等的实根0x，则nnnaaa1可变形为kxaxann00111（其中k为常数）。例11．已知数列｛an｝，满足1243,111nnnaaaa，求an.模式十二：形如nnnaaa21（其中、为非零常数）递推式。例12．（2007四川高考题）已知函数4)(2xxf，设曲线)(xfy在点))(,(nnxfx处的切线与x轴的交点为))(0,(1Nnxn，其中1x为正实数。（Ⅰ）、（Ⅱ）略；（Ⅲ）若41x，记22lgnnnxxa，证明数列}{na成等比数列，并求数列}{nx的通项公式。4二、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式2)(1nnaanS的推导。例1．已知)(xf满足Rxx21,，当121xx时，21)()(21xfxf，若NnfnnfnfnffSn),1()1()2()1()0(，求nS（二）错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{nnba的前n项和，其中}{na、}{nb分别是等差数列和等比数列。例2．求数列}2{nn的前n项和nS。（三）分组求和法所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3．已知数列}{na满足1)21(nnna，求其前n项和nS。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如n3212)1(nn、)12)(1(613212222nnnn等公式。例4．求数列n1,)1(2n,,)2(3n,1n的和。（五）拆项（裂项）相消法：若数列}{na能裂项成)()1(nfnfan，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。例5．已知数列}{na满足)1(1nnan，求数列}{na的前n项和nS（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例．求数列n3211,,3211,211,1的前n项和nS（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n的奇偶性。例7．已知数列)12()1(nann，求数列}{na的前n项和100S（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论。5例8．若)34()1(1nann，求数列}{na的前n项和（九）利用周期性求和：若数列}{na，都有nTnaa（其中0Nn,0N为给定的自然数，0T），则称数列}{na为周期数列，其中T为其周期。例9．已知数列}{na中，nnaaa11,211，求其前n3项的和nS3.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10．求数列}{na前n项和nS，其中nxnansin.（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。例11．求31，53，75，97，，)12)(12(nn的和nS（十二）组合数法例12．求数列1，21，321，，n321的和（十三）极限法求和例13．已知在数列}{na中，nna21，求数列}{na的所有项和S。（十四）归纳、猜想、证明法.例14．已知数列,)12()12(8,,5328,3118222222nnn，求其前n项和nS