高中数学第三章《数系的扩充与复数的引入》素材3苏教版选修1-2

-1-复数的概念与运算要点梳理一、要点解读1．复数的有关概念（1）虚数的单位i的引入认识：它和实数可以进行四则运算，产生形如abi的数（其中abR，）；它的平方等于1，即21i．（2）复数及其相关概念：①复数——形如abi的数（其中abR，）；②实数——当0b时的复数abi，即a；③虚数——当0b时的复数abi；④纯虚数——当0a且0b时的复数a+bi，即bi；⑤复数abi的实部与虚部——a、b分别叫做复数的实部与虚部（注意a、b都是实数）；⑥复数集C——全体复数的集合，一般用字母C表示．（3）两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中a，b，c，dR）特别地，00abiab．（４）复数的比较：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小．注：①若12zz，为复数，则1°若120zz，则12zz．（×）（12zz，为复数，而不是实数）２°若12zz，则120zz．（√）[来源:Z。xx。k.Com]②若abcC，，，则222()()()0abbcca是abc的必要不充分条件．（当22()abi，2()1bc，2()0ca时，222()()()0abbcca，但abc不成立）2．复数的有关运算（1）复数的四则运算：代数运算的加减法类似合并同类项，代数运算的乘法类似多项式的乘法，代数形式的除法，通常先写成分式的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母实数化．()()()()abicdiacbdi，()()()()abicdiacbdbcadi，22()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicdicd．注：复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律．-2-（2）运算律满足的条件：①复数的乘方：()nnzzzzznN…．[来源:学&科&网]②对任何12zzzC，，及mnN，有mnmnzzz，()mnmnzz，1212()nnnzzzz．注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果．如21i，41i若由112422()11ii就会得到11的错误结论．②在实数集中22xx成立，当x为虚数时，22xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法．3．共轭复数的性质：zz1212zzzz2zza，2()zzbizabi22zzzz1212zzzz1212zzzz11222(0)zzzzz()nnzz[来源:学科网ZXXK]注：两个共轭复数之差是纯虚数．（×）（差可能为零，此时两个复数是相等的实数．）４．复数和有序实数对的一一对应关系（1）复数()zabiabR，可说成点()Zab，或向量，并且规定，相等的向量表示同一复数．向量OZ的模叫做复数zabi的模（或绝对值），记作z或abi．由模的定义可知22zabiab．（2）复平面内的两点间距离公式：12dzz．其中12zz，是复平面内的两点1Z和2Z所对应的复数，12zz表示12ZZ，两点间的距离．（3）曲线方程的复数形式：①0zzr表示以0z为圆心，r为半径的圆的方程．②12zzzz表示线段12ZZ的垂直平分线的方程．③122zzzza（0a且122aZZ）表示以12ZZ，为焦点，长半轴长为a的椭圆-3-的方程（若122aZZ，此方程表示线段12ZZ）．④12122(02)zzzzaaZZ，表示以12ZZ，为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若122azz，此方程表示两条射线）．（4）绝对值不等式：设12zz，是不等于零的复数，则①121212zzzzzz≤≤．左边取等号的条件是21zz（R，且0），右边取等号的条件是21zz（R，且0）．②121212zzzzzz≤≤．左边取等号的条件是21zz（R，且0），右边取等号的条件是21zz（R，且0）．注：12233411nnnAAAAAAAAAA…．5．几个充要条件（1）复数z是实数及纯虚数的充要条件：①zzzR．②若0z，或z是纯虚数0zz．（2）模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的；而相等的向量表示同一复数．特例：零向量的方向是任意的，其模为零．[来源:学科网]注：zz．二、范例点悟例计算19962321123iii．分析：本题若按复数除法和乘法法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论2(1)2ii，并注意到23(23)iii，不难找出简捷解法．解：原式9982998998(123)2212123iiiiiiii4249221iiiii．评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质及1±i的幂的性质（详见第二版）等，将有效地简化运算，提高-4-解题速度．