高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式(4课时)教案新人教A选修4-5

第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2ababab及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd222()()()acbdadbcacbd.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.∵mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn.∴…..证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.∴22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd.④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若112233,,,,,xyxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P374、5题.第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()abcdacbd；22222211221212()()xyxyxxyy2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数12yxx的最大值?要点：利用变式2222||acbdabcd.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例1：求函数31102yxx的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：31102yxx→推广：,(,,,,,)yabxcdefxabcdefR②练习：已知321xy，求22xy的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若,xyR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bR，求证：11()()4abab.3.练习：①已知,,,xyabR，且1abxy，则xy的最小值.要点：()()abxyxyxy….→其它证法②若,,xyzR，且1xyz，求222xyz的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,xyzR，且1xyz，求xyz的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题第三课时3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()abcdacbd；2222222()()()abcdefadbecf二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,nnaaabbbR，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212nnaaabbb时取等号，假设0ib）联想：设1122nnBababab，22212nAaaa，22212nCbbb，则有20BAC，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()nnnfxaaaxabababx（）（22212()nbbb，则2221122()()())0nnfxaxbaxbaxb+（.又222120naaa，从而结合二次函数的图像可知，22221122122()4()nnnabababaaa22212()nbbb≤0即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：222212121()nnaaaaaan.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知321xyz，求222xyz的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若,,xyzR，且1111xyz，求23yzx的最小值.③出示例2：若abc，求证：cacbba411.要点：21111()()[()()]()(11)4acabbcabbcabbc3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题2.作业：教材P415、6题第四课时3.3排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式：①看书：P42~P44.②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa···na;12bb···nb.12,,cc···nc是12,bb，···,nb的任一排列,则有1122abab···+nnab(同序和)1122acac+···+nnac(乱序和)121nnabab+···+1nab(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设12,,,naaa是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,nbbb是12,,,naaa的一个排列，且12nbbb，则121,2,,nbbbn.又222111123n，由排序不等式，得3322112222222323nnaabbababnn…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知,,abc为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab.解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，于是222222aabbccacbacb，222222aabbccabbcca，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1.练习：教材P451题2.作业：教材P453、4题