高中数学第二章平面向量同步单元测试新人教B版必修4

用心爱心专心第二章平面向量同步测试一、选择题：1.a与b是非零向量，下列结论正确的是A．|a|＋|b|＝|a＋b|B．|a|－|b|＝|a－b|C．|a|＋|b|＞|a＋b|D．|a|＋|b|≥|a＋b|解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a与b同向时，取“＝”号.答案：D2.在四边形ABCD中，DCAB，且|AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：由AB＝DC可得四边形ABCD是平行四边形，由|AB|＝|BC|得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D的坐标为A．（2，2）B．（－6，0）C．（4，6）D．（－4，2）解析：设D（x，y），则AB＝（5，3），DC＝（－1－x，3－y），AD＝（x＋2，y－1），BC＝（－4，－1）.又∵AB∥DC，AD∥BC，∴5（3－y）＋3（1＋x）＝0，－（x＋2）＋4（y－1）＝0，解得x＝－6，y＝0.答案：B4.有下列命题：①ACBCAB＝0；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（m，4），则|a|＝23的充要条件是m＝7；④若AB的起点为A（2，1），终点为B（－2，4），则BA与x轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是A．①②B．②③C．②④D．③④解析：∵ACACBCAB2，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m＝－7时，|a|也等于23，∴③错.在④中，BA＝（4，－3）与x轴正向夹角的余弦值是54，故④正确.答案：C用心爱心专心5.已知a＝（－2，5），|b|＝2|a|，若b与a反向，则b等于A．（－1，25）B．（1，－25）C．（－4，10）D．（4，－10）解析：b＝－2a＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a|＝8，e是单位向量，当它们之间的夹角为3时，a在e方向上的投影为A．43B．4C．42D．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：a·e＝|a||e|cos3＝8×1×21＝4.答案：B7.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为A．－6B．6C．3D．－3解析：∵a⊥b∴a·b＝0又∵（2a＋3b）⊥（ka－4b）∴（2a＋3b）·（ka－4b）＝0得2ka2－12b2＝0又a2=|a|2=1，b2=|b|2=1解得k＝6.答案：B8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b等于A．（－51,1511）B．（－1511,51）C．（－51,154）D．（51,154）解析：b＝（x－1，3x－2）∵a⊥b，∴a·b＝0即3（x－1）＋4（3x－2）＝0，解得x＝1511.答案：C9.等边△ABC的边长为1，AB＝a，BC＝b，CA＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于A．0B．1C．－21D．－23解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23.答案：D用心爱心专心10.把函数y＝312x的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为A．y＝372xB．y＝352xC．y＝392xD．y＝332x解析：把函数y＝312x的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为A，即按图象向左平移1个单位，用（x＋1）换掉x，再把图象向上平移2个单位，用（y－2）换掉y，可得y－2＝31)1(2x.整理得y＝372x答案：A11.已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于（）A．±1B．1C．－1D．0解析：∵a与b共线∴a＝λb（λ∈R），即ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），∴（k－λ）e1＋（1－λk）e2＝0∵e1、e2不共线.∴010kk解得k＝±1，故选A.答案：A12.已知a、b均为非零向量，则|a＋b|＝|a－b|是a⊥b的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析：|a＋b|＝|a－b|（a＋b）2＝（a－b）2a·b＝0a⊥b.答案：C二、填空题13.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则MN＝.解析：ABACBC＝b－a，∴MN＝3131BC（b－a）.用心爱心专心答案：31（b－a）14.a、b、a－b的数值分别为2，3，7，则a与b的夹角为.解析：∵（a－b）2＝7∴a2－2a·b＋b2＝7∴a·b＝3∴cosθ＝21||||baba∴θ＝3.答案：315.把函数y＝－2x2的图象按a平移，得到y＝－2x2－4x－1的图象，则a＝.解析：y＝－2x2－4x－1＝－2（x＋1）2＋1∴y－1＝－2（x＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a、b的夹角为3，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是.解析：∵a·b＝|a||b|cos3＝2×1×21＝1∴|a+b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3∴|a＋b|2|a－b|2＝3×7＝21∴|a＋b||a－b|＝21.答案：21三、解答题：17.（本小题满分10分）已知A（4，1），B（1，－21），C（x，－23），若A、B、C共线，求x.解：∵AB＝（－3，－23），BC＝（x－1，－1）又∵AB∥BC∴根据两向量共线的充要条件得－23（x－1）＝3解得x＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，求m的值.用心爱心专心解：a·b＝|a||b|cos60°＝3∵c⊥d，∴c·d＝0即（3a＋5b）（ma－b）＝0∴3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0∴27m＋3（5m－3）－20＝0解得m＝4229.19.（本小题满分12分）已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.解：由已知，（a＋3b）·（7a－5b）＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0①7a－30a·b＋8b2＝0②①－②得2a·b＝b2代入①式得a2＝b2∴cosθ＝21||21||||22bbbaba，故a与b的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a2＋b2＝21c2＋2m2.证明：∵DCADACDCBDBC,，两式平方相加可得a2＋b2＝21c2＋2m2＋2（BD·DC＋AD·DC）∵BD·DC＋AD·DC＝|BD||DC|·cosBDC＋|AD||DC|cosCDA＝0∴a2＋b2＝21c2＋2m2.21.（本小题满分14分）设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，OA⊥OB，求实数m、n的值.解：∵OA⊥OB，∴－2n＋m＝0①∵A、B、C在同一直线上，用心爱心专心∴存在实数λ使AC＝λAB，AC＝OC－OA＝7i＋［－（m＋1）j］AB＝OB－OA＝（n＋2）i＋（1－m）j，∴7＝λ（n＋2）m＋1＝λ（m－1）消去λ得mn－5m＋n＋9＝0②由①得m＝2n代入②解得m＝6，n＝3；或m＝3，n＝23.22.（本小题满分14分）如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，BP·CQ有最大值?解：BP·CQ＝（ABAP）·（ACAQ）＝（ABAP）·（－ACAP）＝－r2＋AB·APAC·CB设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则BP·CQ＝－r2＋cbcosθ＋racosθ∵a、b、c、α、r均为定值，∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，BP·CQ有最大值.