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用心爱心专心1第11课时5.4算法案例重点难点重点：通过案例分析，体会算法思想，熟练算法设计，进一步理解算法的基本思想，发展有条理的思考和表达能力，提高逻辑思维能力。难点：在分析案例的过程中设计规范合理的算法学习要求1．理解剩余定理的内涵2．能利用剩余定理解决“韩信点兵—孙子问题”【课堂互动】历史背景：韩信是秦末汉初的著名军事家，据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数。韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行。韩信看此情形，立刻报告共有士兵2333人。众人都愣了，不知韩信用什么办法清点出准确人数的。这个故事是否属实，已无从查考，但这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”。这种神机妙算，最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。”所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”。【解析】“孙子问题”相当于求关于x，y，z的不定方程组273523zmymxm的正整数解。根据题意，m应该满足三个条件：（1）m被3除后余2，即2)3,(mMod（2）m被5除后余3，即3)5,(mMod（3）m被7除后余2，即2)7,(mMod在自然数中可能存在满足条件的数，首先让m=2开始检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则检验下一个数，即m递增1，如此循环下去，一直到m满足三个条件为止。这种解决问题的方法也称为“穷举法”，这种方法在利用计算机解决问题时非常有效，因为计算机最擅长重复机械的操作。【流程图】【伪代码】【思考】上述算法只能求出最小的满足条件的数，m←2EndWhilePrintmNYm←m+1结束输出m开始1m←22)7,(3)5,(2)3,(mModmModmMod或或用心爱心专心2如果要求出10个满足条件的数，程序要做何修改？你能否用数学上最小公倍数的知识分析出解决该问题的方法吗？可以这样考虑：5和7的公倍数中能被3除余2的最小的公倍数是35；3和7的公倍数中能被5除余3的最小的公倍数是63；3和5的公倍数中能被7除余2的最小的公倍数是30；因此满足条件的其中的一个数就应是35+63+30，为128，若减去3、5、7的最小公倍数105得23，23就是满足题目要求的最小的数。你能画出这种算法的流程图吗？【解】算法流程图如下:经典范例例古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。我国东汉的数学家刘徽利用“割圆术”计算圆的面积及圆周率。“割圆术”被称为千古绝技，它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积。具体计算如下：在单位圆内作正六边形，其面积记为A1，边长为a1，在此基础上作圆内接十二边形，面积记为A2，边长为a2,……，一直做下去，记该圆的内接正1n26边形面积为nA，边长为na。由于所考虑的是单位圆，计算出的nA的值即是圆周率的一个近似值，且n越大，nA与圆周率越接近。你能否设计一个算法，计算圆周率的近似值？思路点拨:画图可知2n1na42a，1n2nna23A，1a1，【解】算法步骤如下：【追踪训练】1.m是一正整数,对两个正整数ba,,若ba是m的倍数,则称模m同余,用符号)Modm(ba表示.则)27Mod(5a中,a的取值可能为()A.11B.22C.27D.322.有一堆围棋子,五个五个地数,最后余下2个；七个七个地数,最后余下3个；九个九个地数,最后余下4个.请设计一种算法,求出这堆棋子至少有多少个.【解】算法如下:3.（李白买酒)无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出伪代码．【解】算法如下:输出mmod(,3)2m且mod(,5)3m且mod(,7)2m1mm开始1m结束YN用心爱心专心34.求方程35yx(其中y为自然数)的所有小于100的x的正整数解.【解】算法如下: