高中数学素材均值不等式柯西不等

源头学子三个重要的不等式——均值不等式、柯西不等式、排序不等式【知识聚焦】1.【均值不等式】设123,,,,naaaa是n个正数，则有123123nnnaaaaaaaan，当且仅当123naaaa时取等号。设123,,,,naaaa是n个正数，则有22212121212111nnnnnaaaaaanaaannaaa即：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数特别地，222min{,}max{,}1122abababababab常用变式结构：222abab，2()2abab，2221()2abab，22aabb2．【柯西不等式】设,(1,2,,)iiabRin，则有222222212121122()()()nnnnaaabbbababab，若0ib则等号当且仅当1212nnaaabbb时成立；若0ib则规定对应的0ia。两个变式结构：当ia与(1,2,,)ibin同号时，21212121122()nnnnnaaaaaabbbababab，122222121212()nnnnaaaaaabbbbbb3.【排序不等式】给定两组实数,(1,2,,)iiabRin，如果1212,nnaaabbb，则：121211121122nnnniininnababababababababab（反序和）（乱序和）（顺序和）其中12,.,niii是12,n，，的一个排列，当且仅当1212===,===nnaaabbb取等号。【名题精析】（IMO-36试题）设,,,1abcRabc。求证：3331113()()()2abcbcacab法一：构造均值定理源头学子法二：均值定理变式应用法三：构造柯西不等式