高中数学解三角形练习及详细答案

第-1-页解三角形练习题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝().A．43B．23C.3D.32题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tanAtanB＝2cb，则C＝().A．30°B．45°C．45°或135°D．60°题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.求角A的大小.题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.求证：a，b，c成等比数列.题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港第-2-页口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．题八：如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝513，cos∠ADC＝35.(1)求sin∠ABD的值；(2)求BD的长．题十：如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)().A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是().A．锐角三角形B．直角三角形第-3-页C．钝角三角形D．不能确定题十二：在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是().A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形第-4-页解三角形参考答案题一：B.详解：由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.题二：B.详解：由1＋tanAtanB＝2cb和正弦定理，得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，所以cosA＝12，则A＝60°.由正弦定理得23sinA＝22sinC，则sinC＝22，又ca，则C60°，故C＝45°.题三：30°或150°详解：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因为sinB≠0，所以sinA＝12，所以A＝30°或A＝150°.题四：A＝π3.详解：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，所以2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即sinB(2cosA－1)＝0.因为0Bπ，所以sinB≠0，所以cosA＝12.因为0Aπ，所以A＝π3.题五：49π3.详解：记△ABC的外接圆半径为R.依题意得2B＝A＋C，又A＋C＋B＝π，因此有B＝π3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝7.又2R＝ACsinB＝7sin60°，即R＝73，故△ABC的外接圆的面积是πR2＝49π3.题六：见详解.详解：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB()sinAcosA＋sinCcosC＝sinAcosA·sinCcosC，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，第-5-页因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．题七：(1)303；(2)小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900()t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝400t2－600t＋900＝400()1t－342＋675.由于0t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．题八：8＋43.详解：因为AB＝AD，B＝π3，所以△ABD为正三角形，在△ADC中，根据正弦定理，可得ADsinC＝43sin2π3＝DCsin()π3－C，所以AD＝8sinC，DC＝8sin()π3－C，所以△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin()π3－C＋43＝8sinC＋32cosC－12sinC＋43＝812sinC＋32cosC＋43＝8sin()C＋π3＋43，因为∠ADC＝2π3，所以0Cπ3，所以π3C＋π32π3，第-6-页所以当C＋π3＝π2，即C＝π6时，△ADC的周长的最大值为8＋43.题九：(1)3365.(2)25.详解：(1)因为cos∠ADC＝35，所以sin∠ADC＝1－cos2∠ADC＝45.又sin∠BAD＝513，所以cos∠BAD＝1－sin2∠BAD＝1213.因为∠ABD＝∠ADC－∠BAD，所以sin∠ABD＝sin(∠ADC－∠BAD)＝sin∠ADCcos∠BAD－cos∠ADCsin∠BAD＝45×1213－35×513＝3365.(2)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，所以BD＝AD×sin∠BADsin∠ABD＝33×5133365＝25.题十：C.详解：在△ACE中，tan30°＝CEAE＝CM－10AE.所以AE＝CM－10tan30°.在△AED中，tan45°＝DEAE＝CM＋10AE，所以AE＝CM＋10tan45°，所以CM－10tan30°＝CM＋10tan45°，所以CM＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．题十一：C.详解：由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．题十二：A.详解：由余弦定理知cosC＝a2＋b2－c22ab，所以a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，所以a2＝a2＋b2－c2，所以b2＝c2，所以b＝c.