高中数学解题基本方法之待定系数法

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。A.52,－2B.－52，2C.52,2D.－52，－22.二次不等式ax2＋bx＋20的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。A.－297B.－252C.297D.2074.函数y＝a－bcos3x(b0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。6.与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。【简解】1小题：由f(x)＝x2＋m求出f1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；3小题：分析x5的系数由C105与(－1)C102两项组成，相加后得x5的系数，选D；4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案23；5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小题：设双曲线方程x2－y24＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x23－y212＝1。Ⅱ、示范性题组：例1.已知函数y＝mxxnx22431的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：1120497120()()mnmnmnmn解得：mn51或mn15∴y＝5431122xxx或者y＝xxx224351此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：mnmn6127，解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴abcaabac2222222105()解得：ab105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：bcacabc105222，更容易求出a、b的值。【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn()112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。（89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝16(a＋b＋c)；n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：abcabcabC2442449370,解得abc31110，于是对n＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn()112(3n2＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：yB’xAFO’F’A’B假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk()112(3k2＋11k＋10)；当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝kk()112(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝()()kk1212（3k2＋5k＋12k＋24）＝()()kk1212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立。综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n3、12＋22＋…＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n得Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)＝nn2214()＋2×nnn()()1216＋nn()12＝nn()112(3n2＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。【解】依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。∴盒子容积V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x0，7－x0，x0。设V＝4ab(15a－ax)(7b－bx)x(a0,b0）要使用均值不等式，则abaaxbbxx10157解得：a＝14，b＝34，x＝3。从而V＝643(154－x4)(214－34x)x≤643(1542143)3＝643×27＝576。所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝4ab(15a－ax)(7－x)bx或4ab(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|1，则a的取值范围是_____。A.2a12且a≠1B.0a12或1a2C.1a2D.a2或0a122.方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。A.1B.－1C.p＋qD.无法确定3.如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－π8对称，那么a＝_____。A.2B.－2C.1D.－14.满足Cn0＋1·Cn1＋2·Cn2＋…＋n·Cnn500的最大正整数是_____。A.4B.5C.6D.75.无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－12n,则所有项的和等于_____。A.－12B.1C.12D.与a有关6.(1＋kx)9＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b9x9，若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1，则k＝______。7.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。8.正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410,求抛物线的方程。