高中数学解题思想方法3-待定系数法

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等。它解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。A.52,－2B.－52，2C.52,2D.－52，－22.二次不等式ax2＋bx＋20的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。A.－297B.－252C.297D.2074.函数y＝a－bcos3x(b0)的最大值为32，最小值为－12，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。6.与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是________________。Ⅱ、示范性题组：例1.已知函数y＝mxxnx22431的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。【解】函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则1120497120()()mnmnmnmn解得：mn51或mn15∴y＝…（也可：由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。）【注】待定系数m、n，用判别式法处理值域问题，转化成不等式已知解集后而求系数。例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a∴abcaabac2222222105()解得：ab∴椭圆方程是：…也可：（最简列式）bcacabc105222,即抓住等腰Rt△BB’F’的性质。【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件转换成表达式；曲线平移中，几何数据（a、b、c、e）不变。解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn()112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。（89年全国理）yB’xAFO’F’A’B【分析】先由特殊值n＝1、2、3列出三个等式解出a、b、c，再用数学归纳法证明。【解】【注】存在性问题待定系数时，按照：试值→猜想→归纳证明的步骤进行。例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【解】依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。∴盒子容积V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x（显然:15-x0,7-x0,x0）设V＝4ab(15a－ax)(7b－bx)x(a0,b0）要用均值不等式，则abaaxbbxx10157解得：a＝14，b＝34，x＝3。从而V＝…≤…也可：令V＝4ab(15a－ax)(7－x)bx或4ab(15－x)(7a－ax)bx【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以待定系数法求。Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|1，则a的取值范围是_____。A.2a12且a≠1B.0a12或1a2C.1a2D.a2或0a122.方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。A.1B.－1C.p＋qD.无法确定3.如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－π8对称，那么a＝_____。A.2B.－2C.1D.－14.满足Cn0＋1·Cn1＋2·Cn2＋…＋n·Cnn500的最大正整数是_____。A.4B.5C.6D.75.无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－12n,则所有项的和等于_____。A.－12B.1C.12D.与a有关6.(1＋kx)9＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b9x9，若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1，则k＝______。7.经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。8.正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。9.设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410,求抛物线的方程。