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充分条件与必要条件学习目标重点难点1.记住充分条件、必要条件和充要条件的概念.2.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件或充要条件.3.会分析等价条件“当且仅当”的含义.重点:充分条件、必要条件以及充要条件的意义.难点:具体问题中充分条件、必要条件和充要条件的推理判断.1.充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.预习交流1指出下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件?(1)p:x=3,q:x2=9;(2)p:a是有理数,q:a2是有理数;(3)p:sinα=sinβ,q:α=β.提示:(1)p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)p是q的充分条件,q是p的必要条件;(3)p是q的必要条件,q是p的充分条件.2.充要条件(1)如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.预习交流2举例说明,如何从集合与集合的关系的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?提示:①若A⊆B,则A是B的充分条件;②若A⊇B,则A是B的必要条件;③若A=B,则A是B的充要条件;④若A⊈B且B⊈A,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件.一、充分条件、必要条件和充要条件的判断判断p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:m-2,q:方程x2-x-m=0无实根;(3)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.思路分析:分别判断p⇒q以及q⇒p能否成立,再根据定义得出相应的结论.解:(1)因为x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p是q的充分不必要条件.(2)因为m-2⇒方程x2-x-m=0无实根,而方程x2-x-m=0无实根m-2,所以p是q的充分不必要条件.(3)因为p⇒q,而qp,所以p是q的充分不必要条件.1.“x0”是“x≠0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由“x0⇒x≠0”且“x≠0x0”,可知“x0”是“x≠0”的充分不必要条件.2.判断p是q的什么条件:(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(2)p:a≤-2或a≥2,q:方程x2+ax+a+3=0有实根;(3)p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,q:c2=(a2+b2)r2.解:(1)因为a2+b2=0⇒a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.(2)当a≤-2或a≥2时,如a=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而x2+ax+a+3=0有实根时,Δ≥0,得a≤-2或a≥6,可推出a≤-2或a≥2.所以p是q的必要不充分条件.(3)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,则圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=22||cab,从而c2=(a2+b2)r2,反之也成立.所以p是q的充要条件.判断充要条件的方法有以下几种:(1)定义法:分清条件与结论,判断p⇒q及q⇒p的真假,根据推式及定义下结论.(2)等价法:将命题转化为另一个与之等价且又便于判断真假的命题.(3)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解以及集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,我们可以借助集合间的包含关系进行充要条件的判断,即写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系加以判断,具体情况如下:①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若A⊇B,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.二、充要条件的探求求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.思路分析:由于二次项系数不确定,因此要对a进行讨论,先考虑a=0的情况,再研究a≠0的情况.解:(1)当a=0时,原方程化为2x+1=0,即x=-12,符合要求.(2)当a≠0时,ax2+2x+1=0为一元二次方程.它有实根,则必须Δ≥0,而至少有一个负实根可分为有两个负实根和只有一个负实根的情况:不妨令方程的根为x1,x2.当方程有两个负实根时,则有1212440,1·0,20,axxaxxa∴0a≤1.当方程只有一个负实根时,则有12440,1·0,axxa∴a0.综上所述,ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.1.实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是().A.ab=0B.ab0C.a2+b2=0D.a2+b20答案:D解析:a2+b20,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b20.2.x2的一个必要不充分条件是;x+y0的一个充分不必要条件是.答案:x0x0且y0(答案不唯一)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法:(1)先由结论推出命题成立的必要条件,再证明其充分性.(2)将一个命题等价转换为另一个命题,探求使该命题成立的充要条件.三、充要条件的证明求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.思路分析:证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么,然后证明p⇒q(充分性)和q⇒p(必要性)成立.证明:充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.在△ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.证明:充分性:在△ABC中,A+B+C=180°,又B=60°,∴A+C=120°.∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.必要性:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.又A+B+C=180°,即3B=180°,∴B=60°.综上可知,在△ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.1.在证明充要条件问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意题目给出的推式,若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”就是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”,则与之相反.2.证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立,若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后再加以证明.1.若空间中有四个点,则“这四个点中有三个点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面内”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由三点共线可知四点共面.反之,则不成立.2.a0,b0的一个必要条件为().A.a+b0B.a-b0C.ab1D.ab-1答案:A3.设p:x2+3x-40,q:x=2,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当x2+3x-40时,不一定有x=2,但当x=2时,必有x2+3x-40,故p是q的必要不充分条件.4.(2012山东高考,理3)设a0,且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由函数f(x)=ax在R上是减函数可得0a1,由函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数可得a2,因为0a1⇒a2,a20a1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A.5.在平面直角坐标系中,点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是.答案:0x1解析:依题意有225x0,10,xx解得0x1.