高中数学1-2充分条件与必要条件精品课件同步导学北师大版

充分条件与必要条件•1.通过具体实例理解充分条件、必要条件、充要条件．•2.会判断充分条件和必要条件．•3.能证明命题的充要条件.•1.充分条件和必要条件的判断．(重点)•2.充分条件和必要条件的区分．(易混点)•3.充要条件的判断．(重点)•4.证明充要条件时，充分性和必要性的区分．(易混点)•1．命题的基本结构形式是，其中是条件，是结论．•2．原命题和它的命题同真假．若p，则qpq逆否•1．充分条件与必要条件命题真假“若p则q”是真命题“若p则q”是假命题推出关系条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件充分必要充分必要p⇒q•2.充要条件•(1)如果既有，又有，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称条件．•(2)概括地说：如果，那么p与q互为充要条件．•(3)充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是，二是．p⇒qq⇒p充要p⇔q充分性必要性•1．a＞b是a＞|b|的()•A．充分而不必要条件•B．必要而不充分条件•C．充要条件•D．既不充分也不必要条件•解析：由a＞b不一定可推出a＞|b|，但由a＞|b|一定可以推出a＞b.•答案：B•2．(2009年天津卷)设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()•A．充分而不必要条件•B．必要而不充分条件•C．充要条件•D．既不充分也不必要条件•解析：当x＝1时，x3＝x成立．•若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.•答案：A•3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．•答案：x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝0•4．指出下列各题中，p是q的什么条件？•(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；•(2)p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}的通项公式是an＝2n＋1.•解析：(1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，•所以p是q的充要条件．•(2)因为数列{an}的通项公式是an＝2n＋1⇒数列{an}是等差数列，而数列{an}是等差数列⇒/数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，所以p是q的必要不充分条件.•1．(2011·大纲全国卷，3)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()•A．ab＋1B．ab－1•C．a2b2D．a3b3•解析：A项：若ab＋1，则必有ab，反之，当a＝2，b＝1时，满足ab，但不能推出ab＋1，故ab＋1是ab成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足ab－1，反之，由ab－1不能推出ab；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，综上所述答案选A.•答案：A•2．(2011·湖南卷，3)“x＞1”是“|x|＞1”的()•A．充分不必要条件B．必要不充分条件•C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件•解析：当x1时，|x|1，即x1⇒|x|1，所以“x1”是“|x|1”的充分条件，排除B，D；当|x|1时，则x1或x－1，所以不一定会有x－1，即|x|1⇒/x1，所以“x1”不是“|x|1”的必要条件，故选A.•答案：A用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“既不充分也不必要条件”填空．(1)“p：x1”是“q：1x1”的________．(2)“p：sinα＝32”是“q：α＝π3”的________．(3)“p：四边形是平行四边形”是“q：四边形是矩形”的________．(4)p：a＝b，q：直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________．•对充分条件与必要条件的判断，有的可以直接根据定义去判断，有的需要对条件和结论进行必要的化简或变形，再由定义去判断，也可以从集合的关系入手去判断．•[解题过程]序号结论理由(1)充分不必要条件p⇒q而qp(2)必要不充分条件pq；q⇒p(3)必要不充分条件q⇒p而pq(4)充分不必要条件p⇒q而qp•1.给出下列四组命题：•(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.•(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．•(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．•(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．解析：(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．(3)∵m－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m－2.∴p是q的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp．∴p是q的充分不必要条件．•(12分)是否存在实数p，使q：“4x＋p0”是r：“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[解题过程]由4x＋p0，得x－p4.设A＝x|x－p4.3分由x2－x－20，得x－1或x2.设B＝{x|x－1或x2}.6分若“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件，则A⊆B.9分∴－p4≤－1，∴p≥4.∴当p≥4时，“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件.12分•2.已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．•解析：p：由x2－8x－200得•(x－10)(x＋2)0•即x－2或x10•设p＝{x|x－2或x10}•q：由x2－2x＋1－a20得•[x－(1－a)][x－(1＋a)]0•当a0时，q：{x|x1－a或x1＋a}∵p⊆q∴1－a≥－21＋a≤10∴a≤3a≤9，∴0a≤3当a0时，q：{x|x1＋a或x1－a}∵p⊆q∴1＋a≥－21－a≤10，∴a≥－3a≥－9，∴－3≤a0•当a＝0，q：x2－2x＋1＝(x－1)20•∴q：{x|x≠1}•∴p⊆q成立•综上，a的取值范围－3≤a≤3.•(2011·陕西卷，12)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.•答案：3或4解析：∵x2－4x＋n＝0有整数根，∴x＝4±16－4n2＝2±4－n.∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.∴n＝3或n＝4.•解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要性．(12分)求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0m13.[证明过程](1)充分性：若0m13，则Δ＝4－12m0，∴方程有两个不相等的实数根.2分设两个不相等的实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝2m0，x1·x2＝3m0，∴x1与x2同号，∴0m13⇒方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根.5分(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根，设两根为x1，x2，则Δ＝4－12m0x1·x2＝3m0，∴0m13.∴方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根⇒0m1310分综上可知：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等实根的充要条件是0m13.12分•3.试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac0，x1x2＝ca0，所以ac0•所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号．•即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．充分性：由ac0可推得Δ＝b2－4ac0及x1x2＝ca0•1．充分条件：“若p则q”为真命题，即p⇒q，则p是q的充分条件．•2．必要条件：“若q则p”为真命题，即q⇒p，则p是q的必要条件．•3．充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，即p⇔q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件，同时q也是p的充要条件，即p与q互为充要条件．•1．定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．•2．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．•3．集合法：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分非必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p是q的既非充分也非必要条件．•1．定义法：分别证明充分性和必要性两个方面．在解题时要避免把充分性当必要性来证明的错误，这就需要先分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性．•2．等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是等价的，即反过来也能推出．•[注意]证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了．一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，即p⇒q.•◎判断下列各题中的条件是结论的什么条件．•(1)条件A：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，结论B：0＜a＜4；•(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B.•【错解】(1)∵Δ＝a2－4a＜0，即0＜a＜4，•∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故B⇒A.•而ax2＋ax＋1＞0的解集为R时，有0＜a＜4，故A⇒B，•∴A是B的充要条件．•(2)∵AB⇒A∪B＝B，∴p⇒q，•而A∪B＝B时，有AB，∴B⇒A.•∴p是q的充要条件．•【错因】此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是A⇒B，还是B⇒A均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点．如(1)题中，往往根据一元二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a＝0时原不等式变为1＞0这一绝对不等式的情况．在(2)题中同样容易忽略A＝B这一特殊情况．【正解】(1)∵Δ＝a2－4a＜0，即0＜a＜4，∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故B⇒A.而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴AB，∴A为B的必要不充分条件．(2)∵AB⇒A∪B＝B，∴p⇒q.而当A＝B时，A∪B＝B，即qp，∴p为q的充分不必要条件.