高中数学1-2第1课时充分条件与必要条件课件新人教A版

充分条件与必要条件充分条件与必要条件的概念命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p___qp____q条件类型p是q的_________q是p的_________p不是q的充分条件q不是p的_________⇒⇒/充分条件必要条件必要条件判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.()(2)若p是q的充分条件,则¬p是¬q的充分条件.()(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.()提示:(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分条件.(2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为¬p⇐¬q,所以¬p是¬q的必要条件.(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.答案:(1)√(2)×(3)×【知识点拨】1.对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.2.对必要条件的理解(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.类型一充分条件与必要条件的判断【典型例题】1.命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的条件,“a=4n”是“a是偶数”的条件(用充分、必要填空).2.下列“若p,则q”形式的命题中:①若lgx=0,则2x=2;②若sinx=,则x=;③已知n∈N+,若an=2n,则{an}是等差数列.其中,p是q的充分条件的是,q是p的必要条件的是,p不是q的充分条件的是,q不是p的必要条件的是.(将符合题意的所有序号都填上)126【解题探究】1.判断充分条件与必要条件的依据是什么?2.判断充分条件与必要条件的实质是什么?探究提示:1.判断充分条件与必要条件的依据是定义.2.判断充分条件与必要条件的实质是判断命题的真假.【解析】1.命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.答案:必要充分2.①若lgx=0,则2x=2,真命题;②若sinx=,则x=,假命题;③已知n∈N+,若an=2n,则{an}是等差数列,真命题.所以,p是q的充分条件的是①③,q是p的必要条件的是①③,p不是q的充分条件的是②,q不是p的必要条件的是②.答案:①③①③②②126【拓展提升】1.真命题与充分条件、必要条件的关系(1)根据四种命题的概念与关系,命题的条件和结论是相对的,确定p是否为q的充分条件,关键是判断命题“若p,则q”是真命题还是假命题.(2)如果命题“若p,则q”为真命题,那么条件p是结论q的充分条件,同时,结论q是条件p的必要条件.如果命题“若p,则q”为假命题,那么条件p是结论q的不充分条件,同时,结论q也是条件p的不必要条件.2.充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:由充分条件、必要条件的概念进行判断,即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假,亦同命题真假的判定方法.(2)推出法:此法主要适应于抽象命题的判定,其表现形式为利用推出符表示其关系.【变式训练】1.下列所给的p,q中,q是p的必要条件的个数是()①p:x1,q:lgx0;②p:x1,q:x-11;③p:x=3,q:sinxcosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①由于p:x1⇒q:lgx0,所以q是p的必要条件;②由于p:x1⇒q:x-11,所以q是p的必要条件;③由于p:x=3⇒q:sinxcosx,所以q是p的必要条件;④由于p:直线a,b不相交⇒q:a∥b,所以q不是p的必要条件./2.“x2=2x”是“x=0”的条件,“x=0”是“x2=2x”的条件(用充分、必要填空).【解题指南】解答本题关键是弄清充分条件与必要条件与集合间的关系.【解析】由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.答案:必要充分类型二充分条件与必要条件的应用【典型例题】1.若“x1”是“xa”的充分条件,则实数a的取值范围是()A.a1B.a≥1C.a1D.a≤12.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则c=.【解题探究】1.p是q的充分条件对应的真命题是什么?2.题2中对应的真命题的条件和结论分别是什么?探究提示:1.p是q的充分条件对应若p,则q为真命题.2.对应的真命题是“若x=2,则x2-2x+c=0”,其中“x=2”是条件,“x2-2x+c=0”是结论.【解析】1.选D.若“x1”是“xa”的充分条件,则x1⇒xa,于是{x|x1}⊆{x|xa},得a≤1.2.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则“x=2”是方程“x2-2x+c=0”的根,代入,解得c=0.答案:0【互动探究】若题1中的“充分条件”改为“必要条件”,则实数a的取值范围如何?【解析】若“x1”是“xa”的必要条件,即xa⇒x1,∴a≥1.所以a的取值范围是[1,+∞).【拓展提升】1.从集合的包含关系看充分条件、必要条件若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为:①若P⊆Q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若p是q的充分条件,即p⇒q,相当于P⊆Q,即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了——有它就行;为使x∈P成立,必须要使x∈Q——缺它不可.2.充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.【易错误区】由充分条件、必要条件求参数取值或取值范围时忽略讨论致误【典例】已知p:x2-x-2≤0,q:x2-3mx+2m2≤0,若p是q的必要条件,则实数m的取值范围是.【解析】由p是q的必要条件,得q⇒p,其中,p:{x|-1≤x≤2}.不等式x2-3mx+2m2≤0,即(x-m)(x-2m)≤0,当m=0时，解得x=0①,符合题意;当m＞0时，解得m≤x≤2m①,依题意,得所以0m≤1;当m＜0时，解得2m≤x≤m①,依题意,得所以-≤m0.综上所述,实数m的取值范围是[-,1].答案:[-,1]m12m2，，2m1m2，，121212【误区警示】【防范措施】坚持“概念优先”的原则首先要理解充分条件和必要条件的概念,将问题转化为真命题的条件和结论是解题的关键.利用集合的包含关系,借助于数轴建立不等式组求解,如本例中由条件得出真命题q⇒p再转化为集合关系.【类题试解】已知p:x2+x=0,q:mx2-(m+1)x+m=0有实数根,若p是q的必要条件,则实数m的值为.【解析】由p是q的必要条件,得q⇒p,由x2+x=0得x=0或x=-1,故0和-1是方程mx2-(m+1)x+m=0的根,将x=0代入,得m=0;将x=-1代入,得m=-,所以实数m的值为0或-答案:0或-131.3131.使不等式成立的充分条件是()A.abB.abC.ab0D.a0,b0【解析】选D.由a0,b0,可得即a0,b0⇒11ab11,ab11.ab2.使不等式a2b2成立的必要条件是()A.abB.abC.|a||b|D.ab0【解析】选C.由a2b2,可得|a||b|,即a2b2⇒|a||b|.3.下列说法不正确的是()A.a∥b是a=b的必要条件B.a∥b是a=b的不充分条件C.θ0是sinθ0的充分条件D.θ0是sinθ0的不必要条件【解析】选C.由于a=b⇒a∥b,a∥b⇒a=b,所以a∥b是a=b的不充分条件,a∥b是a=b的必要条件.由于θ0⇒sinθ0,sinθ0⇒θ0,所以θ0是sinθ0的不充分条件,也是不必要条件.///4.a为素数a为奇数的充分条件(填是或不是).【解析】由于2是偶数,不是奇数,故a为素数⇒a为奇数,所以a为素数不是a为奇数的充分条件.答案:不是/5.若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a=.【解析】由“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,得x=1⇒x2+ax+2=0,即x=1是方程x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3.答案:-36.分别判断下列“若p,则q”的命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.(1)若α≠β,则sinα≠sinβ.(2)若m2,则方程x2+mx+1=0有实数根.【解析】(1)由于α=β⇒sinα=sinβ,sinα=sinβ⇒α=β,由逆否命题的真假性相同,得sinα≠sinβ⇒α≠β,α≠β⇒sinα≠sinβ,所以α≠β是sinα≠sinβ的不充分条件,α≠β是sinα≠sinβ的必要条件.///(2)由方程x2+mx+1=0有实数根,得Δ=m2-4≥0⇔m≤-2或m≥2.由于m2⇒Δ0⇒方程x2+mx+1=0有实数根,而反推不成立,所以m2是方程x2+mx+1=0有实数根的充分条件,m2是方程x2+mx+1=0有实数根的不必要条件.