高中数学解题思想方法技巧全集34__参数开门__宾主谦恭

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区第34计参数开门宾主谦恭●计名释义参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.●典例示范【例1】P、Q、M、N四点都在椭圆x2+22y=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF·MF＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析】四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.【解答】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.【插语】题设中没有这个k，因此是“无中生有”式的参数.我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ|=f1(k)，还能表示|MN|=f2(k).例1题解图【续解】又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则x1=22222222,222kkkxkkk，从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=2222)2()1(8kk,亦即|PQ|=222)1(22kk.【插语】无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=222)1(22kk标志着主宾易位，问题已经发生了转程.【续解】(ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-k1，同上可推得，数学破题36计taoti.tl100.com你的首选资源互助社区MN｜=22)1(2)1(122kk,故四边形S＝21|PQ|·|MN|=23222222225)12(4)112)(2()11)(1(4kkkkkkkk.令u=k2+21k，得S=)2511(225)2(4uuu.因为u=k2+21k≥2，当k=±1时，u=2，S=916，且S是以u为自变量的增函数，所以916≤S2.【插语】以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.【续解】(ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝22，|PQ|=2，S=21|PQ|·|MN|=2.综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为916.【点评】参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.【例2】对于a∈［-1,1］,求使不等式1221212axaxx恒成立的x的取值范围.【分析】本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.【解答】y=x21为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)0当a∈［-1，1］时恒成立.令f(a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只须xxxxxxxxxff213002030)1(0)1(22或或(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】求函数y=xxcos2sin3的最大值与最小值.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区【解答一】设tan2x=t，则y=332311212322222ttttttt即t2(y-3)-2t+3y-3=0①∵t=tan2x∈R,∴关于t的方程①必有实数根,∴Δ=4-4·3(y-3)(y-1)≥0.即3y2-12y+8≤0，解得：2-332≤y≤2+332.即ymax=2+332，ymin=2-332.【解答二】原式变形：sinx-ycosx=2y-3，21ysin(x+φ)=2y-3.∵|sin(x+φ)|≤1，∴21y≤|2y-3|.平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)【点评】本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.【例4】若cos2θ+2msinθ-2m-20恒成立，试求实数m的取值范围.【解答】反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.原不等式即：2m(sinθ-1)1+sin2θ,如sinθ=1，则01恒成立，此时m∈R.如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-10.∴2m1sinsin12-θθ2-θθsin12)sin1(∵(1-sinθ)+θsin12≥22.当且仅当1-sinθ=θsin12，即sinθ=1-2时，minsin12)sin1(θθ=22,∴max21sinsin1θθ=2-22.为使2m1sinsin12-θθ恒成立,只需2m2-22，∴m1-2.综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-2，+∞).taoti.tl100.com你的首选资源互助社区【例5】已知动点P为双曲线3222yx=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为91.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且DM=λDN，求实数λ的取值范围.【思考】(1)动点的轨迹为椭圆，当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2=910，知∠F1PF2必为钝角且为最大角，则P应为短轴端点(须证明),据此可求出椭圆方程.(2)M、N在椭⊙上,DM=λDN时,DM与DN必共线,可用设参、消参例5题图的方式确定λ的范围.【解答】(1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|=r1，|PF2|=r2，∵r1+r2=2a为定值，且F1(5,0)，F2(5，0)为定点.∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min=91.而cos∠F1PF2=11022202)(2)52(21221212212122221rrarrrrrrrrrr，这里212102rra0，且r1r2≤2212rr=a2，∴212102rra≥22102aa，从而cos∠F1PF2≥22102aa-1=1-210a,当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-210a=91，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4.∴所求动点P的轨迹方程为：4922yx=1.(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.∵DM=λDN，即(m，s-3)=λ(n，t-3),taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴3)3(tsnm∴14)33(914922222tntn消去n2得：14)33(2222tt化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)如λ=1，则DM=DN，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.如λ≠1，有：t=6513，∵|t|≤2，-2≤6513≤2，解得λ∈［51，5］.【点评】设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.【小结】什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.●对应训练1.求使A=334222xxxx为整数的一切实数x.2.已知方程组1117756111282333nyxyxymxyx与同解，求m、n的值.3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn=nnaa121，求该数列的通项.5.解方程x3+(1+2)x2-2=0.●参考答案1.反客为主，让x为A服务.∵A-1=3312xxx当A∈Z时，亦有A-1∈Z.若x+1=0，则A=1∈Z(x=-1).taoti.tl100.com你的首选资源互助社区若x+1≠0，有：A-1=13312xxx∈Z.这有两种可能.(1)1332xxx=±1.x2-4x+2=0，x=2±2；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.(2)1332xxx是分子1的真分数.令x2-3x+3=1，得x=1或2.故所求实数为x=-1，1，2，2±2.相应的整数为A=1，3，4，2.2.设两方程组的相同解为(x0，y0).由12756823000000yxyxyx代入53111561411171112030300nmnnmnyxynx.3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0.［a-(x2-3x-1)］2=(x-1)2a=(x2-3x-1)±(x-1)有x2-2x-2-a=0①或x2-4x-a=0②由①：（x-1）2=a+3.当a≥-3时，x=1±3a.由②：(x-2)2=a+4.当a≥-4时，x=2±4a.故a-4时，原方程无实根；a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2±4a；a∈［-3，+∞)时，原方程有四解：x=1±3a，x=2±4a.4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(Sn-Sn-1)+11nnSS，得：2S2n-2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.∴S2n-S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用叠加法可得S2n-S21=n-1.∴Sn=n,得an=Sn-Sn-1=1nn，于是an=)2(1)1(1nnnn.5.设a=2，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴x2+x=a或x=-a,∵a=2.∴x2+x-2=0x=21±21241或x=-2.