高中数学解题方法-换元法

第1页2013.3.20高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224xx，先变形为设)0(2ttx，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现1,0x，设2sinx22,0，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量yx,适合条件)0(222rryx时，则可作三角代换sin,cosryrx化为三角问题。均值换元，如遇到Syx形式时，设tSytSx2,2等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。题型一：代数换元例1：（1）方程1313xx＝3的解是_______________（2）xxxf2)(的值域是___________.(3)2loglog)12(2)22(2xx的解为_____________________________.变式练习：已知221)1(xxxxf，则)(xf_________________。例2求函数43Pxx的值域。解设4,axbx，则224ab，0a，0b.在平面直角坐标系xoy中，点(,)Mab是圆弧224(0,0)xyxy上的点，如图所示。第2页2013.3.203322abPab，所以P表示点(,)Mab到直线0:30lxy的距离的2倍。过点(,)Mab作直线0:30lxy的平行线l，则P表示直线0l与l的距离的2倍。设平行直线0l与l的距离为d.则当l过点A时（直线1l），d取最小值1，此时2P；当l与圆弧相切时（直线2l），d取最大值2，此时4P.所以函数43Pxx的值域为[2,4].此题通过做4,axbx的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由224ab，0a，0b可设2cos,2sin,02ab则是三角换元。题型二：均值换元例1：（1）已知,1x，求13xx的最小值（2）设实数yx,满足0122xyx，则yx的取值范围是___________。例2已知,,xyz是正数，求证32xyzyzxzxy证明设,,ayzbxzcxy，则,,222bcaacbabcxyz.所以222xyzbcaacbabcyzxzxyabc3()()()2222222bacabcabaccb32222222222bacabcabaccb3322222222222bacabcabaccb例3已知1,1,1abc.求证：22212111abcbca.证明：由1,1,1abc，可设1,1,1,0,0,0axbyczxyz－＝－＝－＝.于是222222222(2)(1)(1)(1)(2)(2)1114()4312yabcxyzxzbcayzxyzxxyzxyzyzxyzx＋第3页2013.3.20例4．△ABC的三个内角A、B、C满足：BBA2，1cosA＋1cosC＝－2cosB，求2cosCA的值。【分析】由已知“BBA2”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得ACB12060°＝°；由“0120BA°”进行均值换元，则设°＝°＝6060CA，再代入可求cos即2cosCA。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得ACB12060°＝°,由A＋C＝120°，设°＝°＝6060CA，代入已知等式得：1cosA＋1cosC＝160cos()＋160cos()＝11232cossin＋11232cossin＝coscossin143422＝coscos234＝－22,解得：cosα＝22，即：cosAC2＝22。题型三：三角换元例:1：实数,xy满足224545xxyy，设22Sxy，求S的最大值和最小值。解设cos,sinxry，则2245cossin5rr，2545cossinr所以22251045cossin85sin2Sxyr所以当sin21时，max103S；当sin21时，min1013S.例2：已知224ab，229xy，求axby的最大值。解由224ab，可设2cos,2sinab；由229xy，可设3cos,3sinxy.于是6coscos6sinsin6cos()6axby第4页2013.3.20又当2()kkZ时，上式中等号成立。即axby的最大值是6.例3.求函数的值域21xxy。解：令xtsin，t2,2则：tty2sin1sin∵ttcossin12当t2,2时∴tytan，2,2t∴值域为,例4.已知Rba,，且122ba，求证：2222baba。证明：设sin,cosrbra，其中2,0,1r则2222222sincossin2cos2rrrbaba242sin22sin2cos222rrr2222baba。原不等式得证。题型四：解析几何中换元法的运用1.已知实数yx,满足01)2()2(22yx，求yxyx,2的最大值与最小值。2.已知椭圆192522yx，直线04054:yxl，椭圆是是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？3.已知xxy264的最大值。解：令xvxu26,4；易得1147722222vuvu；令sin14,cos7vu；所以)sin(21sin14cos7y21maxy第5页2013.3.204.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd解：由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e．（Ⅱ）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立将2ab，5cb代入，化简有2215852104xxbb222121212411()4aaxxxxxxbb将数值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的双曲线方程为221369xy。