高中数学复习第2章-第9节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用第九节函数模型及其应用考纲传真1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用1．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当x＞x0时，有单调递增单调递增单调递增logax＜xn＜ax菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用2.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝．(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)．(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)．(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)．(5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．kx＋b(k≠0)kx菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大()(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻()(3)幂函数增长比直线增长更快()(4)不存在x0，使ax0xn0logax0()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用2．(人教A版教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为()A．5hB．10hC．15hD．30h【解析】设需要时间为n小时，则有，解得n＝10，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件【解析】利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．【解析】已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用5．(2014·青岛模拟)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解析】由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝lgA－lgA0＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，9＝lgx＋3,5＝lgy＋3，解得x＝106，y＝102.所以xy＝106102＝10000.【答案】610000菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向1一次函数与二次函数模型【例1】(2013·淄博一模)如图2－9－1所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【思路点拨】先求∠O的余弦值，设出摩托车的速度及追上汽车的时间，然后根据余弦定理建立V与t的关系式．【尝试解答】作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝45.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用即v2＝25t2－400t＋2500＝251t－82＋900≥900，∴当t＝18时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝308＝154公里．故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用规律方法11.解答本题时利用余弦定理建立v2与t的关系是解题的实破口，然后把v2看作1t的二次函数是解题的关键．2．(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用变式训练1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210t.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解】(1)每吨平均成本为yx(万元)，则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200t时，每吨平均成本最低为32万元．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210t时，可获得最大利润1660万元．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向2指数函数模型【例2】已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．【思路点拨】(1)解关于2t的一元二次方程求解．(2)分离参数，转化为恒成立问题求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【尝试解答】(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，当θ＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x(x≥1)，则x＋1x＝52，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122t恒成立．令12t＝x，则0＜x≤1，∴m≥2(x－x2)，由于x－x2≤14，∴m≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是12，＋∞.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用规律方法2此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用变式训练2一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【解】(1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用考向3分段函数模型【例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【思路点拨】(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x)．(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）山东专用【尝试解答】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60.解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，