高中数学解题方法谈线性规划求最值问题

1线性规划求最值问题一、与直线的截距有关的最值问题例1已知点()Pxy，在不等式组2010220xyxy，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则zxy的取值范围是（）．（A）［－2，－1］（B）［－2，1］（C）［－1，2］（D）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑zxy，把它变形为yxz，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线．z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数zxy取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数zxy取得最小值为－1．故选（C）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．二、与直线的斜率有关的最值问题例2设实数xy，满足20240230xyxcyy，，，≤≥≤，则yzx的最大值是__________．解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），00yyzxx表示两点(00)()OPxy，，，确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为240xy与230y的交点，即A点．∴312P，．故答案为32．注：解决本题的关键是理解目标函数00yyzxx的几何意义，当然本题也可设ytx，则ytx，即为求ytx的斜率的最大值．由图2可知，ytx过点A时，t最大．代入ytx，求出32t，即得到的最大值是32．三、与距离有关的最值问题2例3已知2040250xyxyxy，，，≥≥≤，求221025zxyy的最小值．解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而22(5)zxy表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC上，故z的最小值是292MN．注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．四、与实际应用有关的最值问题例4预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为502020001.5xyyxyxxyN，，，，，≤≥≤由50202000xyyx，，解得2007200.7xy，．∴A点的坐标为20020077，，由502020001.5xyyx，，解得2575.2xy，．∴B点的坐标为75252，．所以满足约束条件的可行域是以2002007525(00)772ABO，，，，，为顶点的三角形区域（如图4）．由图形可知，目标函数zxy在可行域内的最优解为25，，但注意到xyN，，故取37y．3答：应买桌子25张，椅子37把．