高中数学解题方法谈线性规划问题新解法

1线性规划问题新解法简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，也是近年高考命题的热点．线性规划问题的常规解法是“截距法”，即利用线性目标函数(0)zaxbyb的几何意义：“zb是直线azyxbb在y轴上的截距”来求解．而对于有些线性规划问题．也可以运用新的视角探究其解法．现以近年高考题为例向同学们介绍，以拓广同学们的解题思路．一、函数单调性法例1（高考福建卷）非负实数xy，满足24030xyxy，，≤≤则3xy的最大值是．解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如右图．令3zxy，由图知，使目标函数3zxy取得最大值的点一定在边界240xy或30xy上取得．由24030xyxy，，解得12xy，．（1）当01x≤≤时，33(3)29zxyxxx，在[01]，上为减函数，0x∴时，max9z；（2）当12x≤≤时，33(24)512zxyxxx，在[12]，上也为减函数，1x∴时，max7z；综上知当0x时，3zxy有最大值为9．点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数单调性求解的．既体现了函数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”．二、待定系数法例2（高考浙江卷）设zxy式中变量x和y满足条件3020xyxy，，≥≥则z的最小值为（）Ａ．1Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．3解析：令()(2)()(2)zxymxynxymnxmny，则121mnmn，，解得1323mn，．于是1212()(2)3013333zxyxyxy≥，当且仅当320xyxy，时，z取最小值1．故选Ａ．2例3（高考江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30％和10％．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1．8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，则由题意知100.30.11.800xyxyxy，，，，≤≤≥≥目标函数0.5()(0.30.1)zxymxynxy，则0.310.10.5mnmn，，解得0.252.5mn，．于是0.25()2.5(0.30.1)zxyxy．显然当且仅当xy与0.30.1xy同时取得最大值时，z最大．由100.30.11.8xyxy，，得46xy，．此时0.540.567zxy（万元）．∴当46xy，时，z取得最大值．故投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1．8万元的前提下，使可能的盈利最大．点评：借助待定系数法求解线性规划问题的一般步骤是：①列出线性约束条件及目标函数；②用待定系数法构造变量组合；③解出“=”成立的条件