高中数学讲解

§6.1数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照____________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1______an其中n∈N*递减数列an＋1______an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是__________、__________和__________.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.已知Sn，则an＝n＝1n≥2.[难点正本疑点清源]1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列.(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现.(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*).1.已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________.2.已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项.3.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项.4.已知数列{an}的通项公式an＝n＋156n(n∈N*)，则数列{an}的最小项是()A.a12B.a13C.a12或a13D.不存在5.在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于()A.1B.－1C.5D.－5题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…；(5)0,1,0,1，….探究提高(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….题型二已知数列的递推公式求通项公式例2根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋1；(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；(4)在数列{an}中，a1＝8，a2＝2，且满足an＋2－4an＋1＋3an＝0.题型三由an与Sn的关系求通项an例3已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式.探究提高(1)已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.②由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.③由Sn－Sn－1＝an推得的an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(2)利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝Snn＋2(n－1)(n∈N*).(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)是否存在自然数n，使得S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝2013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.13.用函数的思想方法解决数列问题试题：(12分)已知数列{an}.(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立.求实数k的取值范围.审题视角(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性.规范解答解(1)①由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.[4分]②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为n＝52.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.[8分](2)由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3.[12分]批阅笔记(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答案为k－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.§6.1数列的概念与简单表示法(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C.数列n＋1n的第k项为1＋1kD.数列0,2,4,6，…可记为{2n}2.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an对所有正整数n都成立，则a10等于()A.34B.55C.89D.1003.如果数列{an}的前n项和Sn＝32an－3，那么这个数列的通项公式是()A.an＝2(n2＋n＋1)B.an＝3·2nC.an＝3n＋1D.an＝2·3n二、填空题4.已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，a36＝________.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，且1Sk9(k∈N*)，则a1的值为________，k的值为______.6.已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.三、解答题7.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？B组专项能力提升题组一、选择题1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则a1·a2·…·a2011的值为()A.－3B.1C.2D.32.数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1323.数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()A.6116B.259C.2516D.3115二、填空题4.已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a16＝________.5.数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)是______________.6.(2011·浙江)若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.三、解答题7.已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.答案要点梳理1.一定顺序项2.有限无限3.列表法图象法解析法4.序号n5.S1Sn－Sn－1基础自测1.an＝2n－1(n∈N*)2.73.2n－1134.C5.B题型分类·深度剖析例1解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0n为奇数1n为偶数或an＝1＋－1n2或an＝1＋co