高中数学论文2010年高考三角函数问题赏析及2011年高考三角函数命题展望浙教版

2010年高考三角函数问题赏析及2011年高考三角函数命题展望一、2010年三角函数考点解析三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的12%,即18分左右.多数是中、低档题.近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.二、2010年三角函数典型题型及解法赏析分析2010年全国高考三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1（10全国I卷理2）记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk解：222sin801cos801cos(80)1k,tan100tan802sin801.cos80kk。故选B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.例2（10全国1卷文1）cos300(A)32(B)-12(C)12(D)32解：1cos300cos36060cos602评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.例3（10重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为(1,2,3)ii，则232311coscossinsin3333____________解：232312311coscossinsincos33333又1232，1231cos32评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.例4（10全国卷1理数14)已知为第三象限的角，3cos25,则tan(2)4.解：为第三象限的角k2232k24k234k(ZK)又3cos250,4sin25,sin24tan2cos23tan(2)441tantan2134471tantan2143.评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。3、)sin(xAy的图象和性质图像变换是三角函数的考察的重要内容，.解决此类问题的关键是理解,,A的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。例5（10全国卷2理数7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像（A）向左平移4个长度单位（B）向右平移4个长度单位（C）向左平移2个长度单位（D）向右平移2个长度单位解：sin(2)6yx=sin2()12x，sin(2)3yx=sin2()6x，将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像，故选B.评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()yAx中的对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。例6（10辽宁理数5）设0,函数y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）23(B)43(C)32(D)3解：将y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后为4sin[()]233yx4sin()233x43=2k,即32k又0，k≥1故32k≥32，所以选C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。4、三角形中的三角函数此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.例7（10天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）0150解：由正弦定理得232322cbcbRR所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。.例8（10江苏卷13）、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosbaCab，则tantantantanCCAB=________。解：226cos6cosbaCabCabab2222222236,22abccabababab2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABCABCABCABCAB=442122222ccabcabcba评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.5、三角应用题此类题主要考查三角函数实际应用.解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。例9（10北京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）2sin2cos2；（B）sin3cos3（C）3sin3cos1（D）2sincos1解：四个等腰三角形面积之和421sin112sin由余弦定理可得正方形的边长为cos21121122cos22，正方形的面积为cos22，所求八边形的面积为2sin2cos2评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．例10（10福建理19．）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。解：（Ⅰ）要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移,0ATs即31,1030tt，310vt，330310tv（海里/时）答：小艇航行速度应为330海里小时/。（Ⅱ）分类讨论得：(1)若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇则有OGAG，又因为AGOG，所以不符合要求舍去。所以轮船与小艇的交点必在T、B之间。（2）若轮船与小艇在H处相遇则在直角三角形OHT中运用勾股定理有：0400600)900(22ttv，设xt1则：9641060040090022ttv从而)3(30427)43(410949)16923(41022v所以当30v时，23，即32t。答：当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东30方向行走能以最短的时间遇到轮船。评注:本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题OABTGH的能力以及综合分析问题的能力。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。6、三角函数的最值及综合应用。此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。，例11.（10湖南文数16.）已知函数2()sin22sinfxxx（I）求函数()fx的最小正周期。(II)求函数()fx的最大值及()fx取最大值时x的集合。解：1）2)2cos1(2sin)(xxxf)42(xx2sin(21)4函数)(xf最小正周期为T=222）当2242kx即)(8Zkkx,)(xf取最大值21因此函数)(xf取最大值时x的集合为{x/)(8Zkkx}评注:本小题依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换.高考资源网例12（10山东理17）已知函数211()sin2sincoscossin()(0)222fxxx，其图像过点1(,)62。（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)将函数()yfx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图像，求函数()gx在[0,]4上的最大值和最小值。解：（Ⅰ）因为211()sin2sincoscossin()222fxxx(0)11cos21()sin2sincoscos222xfxx11sin2sincos2cos221(sin2sincos2cos)21cos(2)2xxxxx又函数图像过点1(,)6211cos(2)226即cos()13又03（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()cos(2)23fxx，将函数()yfx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图像，可知1()(2)cos(4)23gxfxx因为[0,]4x所以4[0,]x因此24[,]333x故1cos(4)123x所以()ygx在[0,]4上的最大值和最小值分别为12和14评注:本小题主要考察了同学们综合运用三角函数公式的能力、灵活运用图像变换求三角函数最值问题的能力，以及分析问题，解决问题的能力。三、2011年高考三角函数命题展望三角函数的命题趋于稳定,2011年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.1、三角函数的图象和性质是考查的重点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解