高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生借助图形计算器寻找解题的突破口

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生借助图形计算器寻找解题的突破口【研究目的】利用图形计算器强大的图形绘制功能，对图像进行观察直观地对函数的性质进行了解，从而利用数形结合的思想，寻找到解题的突破口。【研究背景与过程】由老师在课上布置的一道题目所引发的思考与探究，题目如下：2010年全国高考试题（新课程）设函数2()1xfxexax。（Ⅰ）若0a，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若当0x时()0fx，求a的取值范围。当时主要矛盾集中于第二问上，按照传统思路解决恒成立不等式问题可以采用“分离参数”的思路，如下：当0x时()0fx恒成立，即不等式21xaxex恒成立。当0x时，等价于21xexax恒成立。令21()(0)xexgxxx，求导得到：2'4(1)2(1)()xxxexegxx事实上'()0gx在(0,)是没有零点的，也就是21()(0)xexgxxx无最小值，只能从高等数学角度考查其极限，所以这个传统的思路在此题中不可行。这时老师启发我们是否可以用图形计算器找到此题突破口。【研究步骤】第一步：打开图形界面1.按O打开图形计算器,打开如图1的界面。2.通过按数字键5（图形），打开图形窗口，如图22图1图2第二步：输入所需函数2-1-1=xexyx按键步骤：zLGf$-1-f$fs，得到图3如下，按l键绘制图像，得到图4如下图3图4依次按按键Lewlu，可以将图像适当放大，以方便观察，得到图5如下图5第三步：观察图像寻求解题突破点通过观察图像，可以得到如下猜测：当0x时，211()2xexgxx，并且可以证明：当0x时，22111()1022xxexgxexx，令21()=12xhxexx，则'()=1xhxex，3由第一问已证，'()0hx，所以当0x时，函数()hx为增函数，自然会有()(0)hxh至此我们通过图像找到此题的突破点为需要分12a、12a两种情况进行讨论：当12a时，'()0fx，继而证明()0fx；当12a时，'()1+2(1)=(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，通过反例知当(0,ln2)xa时，'()0fx。综合得到若()0fx，必须12a。【反思分析】事后查阅答案，见答案如下：先将'()12xfxeax进行“放缩”，得到'()12-2=(1-2)xfxeaxxaxax，知当12a时，'()0fx，继而证明()0fx；而当12a时，'()1+2(1)=(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，通过反例知当(0,ln2)xa时，'()0fx。综合得到若()0fx，必须12a。两者之间缺乏沟通的桥梁，导致无法完成建构。如果能够借助于图形计算器，通过绘图，再进行观察、猜测，“12”这个分界点会清晰的显现出来，找到了问题的突破点，再进行严格的论证，思路的产生就十分自然。【总结】回顾本题目的解决过程，我们发现主要矛盾是寻找分类讨论的“界点”，这是传统方法很难解决的问题。过往老师讲评类似题目时，由客观条件所限，只好直接将分类“界限”抛售出来，学生或许会觉得“唐突”，一时难以理解接受。从上述可以看到，适当的使用图形计算器，对图像进行观察、猜测，运用数形结合的思想，从而找到问题的突破口，就可以直观清晰地解决类似“界点”问题。【收获】在数学的学习过程中，通过使用图形计算器使我的数形结合思想不断地得到加强，而这种加强对数学学习是大有裨益的，同时在使用图形计算器不断的探索与钻研中，也使我的4思维能力与解题能力得到很大的进步与提升。在此衷心感谢老师在本次学习过程中给予的知道与帮助。