高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生利用图形计算器解决需要分类的数形结合问题

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生利用图形计算器解决需要分类的数形结合问题《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出，要“尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。”图形计算器虽然使用还不够广泛，但它在代数运算、编程、数据统计、动态几何等方面都有较强大的功能，并且便于携带，可以随时随地使用，因此其优势比较明显。在查看资料的过程中遇到了这样一个问题：“分别就a=2，a=54和a=12画出函数y=ax，y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数．”一、我们的主观意识常常会引导我们犯错在解决需要进行分类讨论的数形结合问题时，我们常常以主观意识即通过以下步骤通过绘制图像进行判断：使用“计算·矩阵”功能模块，将一个大于1的数（这里设置为3）赋值给参数A。使用“图形”功能模块，绘制函数Y1=Ax及函数Y2=logAX。2由此图可知，当a1时，方程ax=logax无解；用同样的方法，作出0a1时y=ax与y=logax的图象（我们一般会选择易于计算的0.5）。3因它们只有一个公共点，所以我们通常会得出当0a1时，方程ax=logax有且只有一解的结论。通过我们惯用的思想方法来解决这一问题得到的结论看起来是准确无误的，但是这种通过主观意识的判断而得来的结论就真的正确么？下面的操作会让我们颠覆这种看法。二、如果再多进行一步，结果将会让人吃惊在这里，我们将0.1这个在（0，1）区间中的实数赋值给参数A，这时再使用“图形”功能模块绘制图像4显然，在改变参数后，我们发现这两个函数的图像出现了一个交点，此时，点击键盘上的F5，选择“交点”功能即可得到交点坐标。如果我们就这样想要得出新的结论的话，先不要着急，当我们把（1，+∞）上的无理数2赋值给参数A时，我们会发现之前得出的结论又一次被推翻。5使用之前的方法在做出图像后求出交点坐标，这一次，这两个函数的图像出现了两个交点如果这样就想要提出新的结论，还是为时过早，如果我们将0.03这个（0,1）上的有理数赋值给参数A，就会得到这样的图像。6这时，我们会发现这两个函数的图像出现了三个交点。为了保险起见，我们使用“动态图”功能模块来验证（由于这款计算器不支持步长为0.01的情况，我们只能验证步长为0.1）。7当曲线y=ax与y=logax相切时，曲线y=ax与y=logax有且只有一个公共点。由此可知，当a1时，方程ax=logax的解可能有2个、1个或0个；当0a1时，方程ax=logax的解可能有3个或1个，通过以上操作，我们可以在a的取值不同的情况下，方程ax=logax解的个数有下列多种不同情况：0个、1个、2个、3个。三、在现象中理解这个问题的理论依据通过刚才的操作，我们通过函数图象得出了方程ax=logax(a0，且a≠1)解的个数。如果在没有图形计算器的场合我们又该如何解决这个问题呢？8对于方程ax=logaxⅠ.在a1时先求y=ax的图像与y=logax的图像相切时a的值。设曲线y=ax与y=logax相切于点P(x0，x0)，从我们之前的学习中，我们可以得知函数y=ax与y=logax互为反函数，所以当这两个函数图象相切时，切线的斜率为1。从而列得方程，000,()|1.xxxxaxa∴000,ln1.xxaxaa∴000,1.lnxaxxa1ln1lnaaa．即e=1lna∴a=1ee此时x0=e．以上说明，当a=1ee时，两条曲线y=ax与y=logax相切于点P(e，e)．因此有以下结论：ⅰ.1a1ee时，方程有且仅有两个解ⅱ.当a=1ee时，方程有且仅有一个解ⅲ.当a1ee时，方程无解Ⅱ．当0a1时先求y=ax与y=logax相切时a的值。设曲线y=ax与y=logax相切于点P，由对称性知，点P在直线y=x上，设P(x0，x0)。由于曲线y=logax（或y=ax）在点P处切线的斜率为1，9列得方程，000,(log)|1.xaxxaxx即000,11.lnxaxxa∴1ln01,ln1.lnaaaxa即011,ln1.eaxe则a=1()ee此时，x0=1e。以上说明，当a=1()ee时，两条曲线y=ax与y=logax相切于点P(1e，1e)。得出：ⅰ.0a1()ee时，方程有且仅有三解；ⅱ.当a=1()ee时，方程有且仅有一解；ⅲ.当1()eea1时，方程有且仅有一解。用图形计算器的“计算·矩阵”功能模块，求出1()ee的值。这个数非常小，小到在我们平常的运算跟思考中根本不会考虑到这种情况，这也正是这道题的关键所在。综上所述，当a（0，1()ee）时，方程ax=logax有且仅有三解；10当a=1()ee时，方程ax=logax有且仅有一解；当a（1()ee，1）时，方程ax=logax有且仅有一解；当a（1，1ee）时，方程ax=logax有且仅有两解；当a=1ee时，方程ax=logax有且仅有一解；当a（1ee，+∞）时，方程ax=logax无解。四、感悟与反思通过这道题，我们可以明白自己平常在做涉及到分类讨论的数形结合问题时，考虑的总是不那么全面，我们的主观意识让我们无法突破惯有解题方式的桎梏，在开篇时举出的例子就是一个很好的证明，在这个例子中我们所使用的分类方式是我们在平时的练习与测验中因为时间跟计算工具的限制经常会用到的分类。然而，这道题却跳出了这个惯有思维，它采取了更加细化的分类而不是像我们平常做题时大致分成两类，每一类中选取一个有代表性的值，求解以后就能得出结论的类型。也正是这道题，在我们高中所接触到的知识体现的数学的严谨，同时也能体现出图形计算器在我们解决一些需要细化分类的问题时所起到的无与伦比的作用。反思一下我们平时的解题，在大量习题的压力下，时间变得很紧张，因此，我们一般不会见到需要特别的细化分类的问题，也正是这一点，使我们的思维限制在了平时做题得分需要的大致的分类，而忽略了数学本身的精密、严谨。在解这道题时，我相信大多数每天沉浸在大量成题中的高中生一定会对数学有一个全新的认识，也对图形计算器有了不一样的感想。在使用“计算·矩阵”功能模块时，我们可以进行一些辅助运算，还可以对其他功能模块所要用到的参数进行赋值；使用“图形”功能模块时，可以通过修改参数来列举一些特殊值，来得出初步的结论；使用“动态图”功能模块时，可以实现大多数情况下临界值的范围；必要的时候我们在解决需要分类讨论的数形结合问题时我们还可能会用到“解方程（组）”功能模块来解高次方程，以及“程序”功能模块来通过编程实现一些图形计算器没有直接提供的功能。