高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生探究几类优美的物理轨迹及其在CASIOCG20计算器上的演

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生探究几类优美的物理轨迹及其在CASIOCG20计算器上的演示一、研究背景正如我们所知道的一样，在物理世界中，几何一直都离不开物理。而在一般的数学中直接用集合的方式去模拟物理中的大量优美轨迹是非常不容易的，因而我们尝试用计算器来模拟这些优美的轨迹，来填补这一研究上的空缺。二、研究目标本论文旨在探究几段优美的物理轨迹，并将它们模拟在计算器fx-CG20上，使轨迹表现出本应具有动态的美感来。三、研究内容1.物理模型之一：一根长度为L的杆AB靠在光滑的竖直墙壁上，B端着地。在杆上有一点C到B的距离为λL。给AB一点扰动，杆会下滑，此时求C点的轨迹。先从特殊情况入手。当C为AB中点时，。通过简单的平面几何知识可以得出，C做的是一个圆周运动。当C不是中点的时候呢？是否还是圆？下面我们用CASIO计算器来绘制这份动态图像运用CG-20，调至动态函数。选定Y1=-tanA*x+LsinA,[0，cosA]通过简单的平面几何知识可以得到C点的坐标为（Lcosθ-λLcosθ，λLsinθ）然后再用参数来表示。，其大致图象如图所示。.此时L=1，λ=1/3因为变量θ从0到π/2，所以定义变量此次step为π/12来看这动态图23经过多次探究发现：当C不是AB中点时，其轨迹是一个椭圆。这是不是可以证明的呢？答案是可以的。给出如下证明：建立平面直角坐标系，以墙角为O点，再令角OBA=θ，于是到图示位置的时候，C点坐标就是（Lcosθ-λLcosθ，λLsinθ），于是C点满足方程（x/（1-λ））^2+（y/λ）^2=L^2于是其轨迹就是一个椭圆。取几个特殊的λ，会得到几个十分漂亮的图形。物理模型之二：一个质量为M的光滑半圆柱，半径为R。平放在光滑水平面上。另一个质量为m的小球放在半圆柱最上端，然后给m一个扰动，求m在脱离M之前的轨迹。当然还是从最简单的形式分析，当M远大于m时，那么m就做一个圆周运动。但是现在M和m都在运动。那么此时M做的是一个什么运动呢？我们还是通过CASIO计算器来模拟其轨迹。通过CG-20调至动态图，首先我们来模拟一个移动的半圆的轨迹。4其中A是M的圆心的坐标。R上有平方=把R定义到4，但从后文我们可以得到A=mRsinθ/(M+m)又因为m的坐标可以用θ来表示为（x,y）=（Rsinθ*c，Rcosθ）,其中c=m/（M+m）-1，具体证明方法在后面所以再次调整动态图，令M/m=4，有令B从0到π/2，step为π/20则有动态图56(看红点点)通过10次的实验，我们会得到这样一个优美的结论：m的轨迹是一个椭圆。这是正确的吗？我们来证明这一结论。同样的，建立平面直角坐标系,设E点，即半圆的圆心处的坐标为（b,0）,于是初始时刻m球，也就是G点的坐标为（0，R）.然后在运动过一段时间后E点到了图示位置，设∠G’EG=可以得到G点的坐标为（x，y）=（b-Rsinθ，Rcosθ）。将M,m看成一个整体。由物理学知识可以知道这一系统在水平方向上不受外力。由动量守恒定律知道，m*dx/dt+M*db/dt=0=m*dx+M*db=0，两边积分，=mx+Mb=0,将x=b-Rsinθ代入，得到mRsinθ=(M+m)b③于是b=mRsinθ/(M+m)代回原坐标，得到（x，y）=（Rsinθ*c，Rcosθ）其中c=m/（M+m）-17于是（x，y）满足（x/c）^2+y^2=R^2，于是这是个椭圆。（注：可能有些读者想要知道此系统的运动规律，或许想要通过一些对称性和某些守恒律将其完全解出，但是其可行性是没有的。因为再通过一些简单的物理学计算。比如说以M为参考系所列出的向心力公式F=(m/r)*（（dx/dt-db/dt）^2+(dy/dt)^2）Fsinθ=Md^2b/dt^2然后将x，y关于b与θ的关系代入，可知dx/dt=db/dt-Rcosθdθ/dtdy/dt=-Rsinθdθ/dt,得到mR(dθ/dt)^2*sinθ/M=d^2b/dt^2④然后对③式两边对t求导，消去d^2b/dt^2得2222sincossinRMddmRdMmdtdtMdt但是很遗憾的是，此方程似乎没有解析解。由此可见，即使是最简单的物理模型，其运动规律也是极其的复杂）物理模型之四：狐狸追兔子（跟踪导弹的物理模型）。有一只兔子，沿着直线AB跑，速度为Vf另有一狐狸，用一种很“蠢笨”的方法去追兔子：它的速度大小不变为V,方向始终对着兔子，初始时V⊥Vf.且他们的距离为L，求狐狸之运动轨迹？当然，此题也需运用平面直角坐标系。令初始位置狐狸所在点C为原点，建立X,Y轴。再令任意时刻处，导弹之坐标为P(x,y)飞行物的坐标为yf(t),t时刻导弹与飞行物的连线与导弹轨迹在P点相切，即、tgθ=dy/dx式子中dx和dy是ds在x轴和y轴的投影，ds是导弹从t时刻到（t+dt）时刻经历的距离.有几何关系Yf=y+（L-x）tgθ=y+(L-x)dy/dx8对x求导，得到dyf/dx=（L-x）*d^2y/dx^2由已知，得到dyf=vfdtdS=vdtds=sqr((dx)^2+(dy)^2)dyf=vfdt=vfdS/v=21vfdydxvdx2221vfdydydxLxvdxdx联立得到上式。下求上式的解令γ=vf/v，u=dy/dx化为γsqr（1+u^2）=(L-x)du/dx分离变量，得du/sqr（1+u^2）=γdx/（L-x）积分，得ln(u+sqr(1+u^2))=-γln（L-x）+C初始值为t=0，x=0u=dy/dx=0代入，得到C=γlnLln(u+sqr(1+u^2))=ln(（L/(L-x)）)^γ或者u+sqr(1+u^2)=（L/(L-x)）^γ解出1121111,2111LxxLvfyLLv代入几个γ，可得到几个漂亮的曲线.推广1：若是兔子以抛物线，或者更直接一点，以y=f（x）的曲线跑，那么此时狐狸追兔子是怎样的曲线呢？）推广2:我们将人物数量增多一些，比如说在正n边形的n个角上(边长为L)，有n个人。A1A2…An。然后A1追A2，A2追A3…..An追A1，他们的速率大小都是V，探讨此时他们几个人所成的优美图形.首先，我们考虑最简单的情况，就是正三角形。注意到以其中心为极点，以BC初始方向为极轴。那么B点的运动方程应该是这样子的。sincosdVdtdVdt解方程先放一放。但是我们可以预见到的是，如果是正N边形，每一个顶点的运动方程应该都是如此。只不过是初始值的问题罢了。下面我们来解方程。由于我们只要求r与的关系，于是消去dt，我们得到：9tantanddd，两边积分，有lnlncoscoscc所以其实很简单。不妨将正N边形改成任意一个封闭图形，那么此时的图案会是怎样的呢？（没有能力）结束语：物理世界是充满着无穷的奥妙的。所有的运动都有一定的规律性和对称性。数学和物理要做的事就是找出这些优美的特性。来更加全面的探索这个世界。轨迹也是一样。所有的优美轨迹都是一件艺术品。希望我们在科学世界的探索中得到美的感觉，正是因为自然界所具有的美丽，才能激励着无数多的人勇敢向前。参考文献：舒幼生《物理学难题集萃》