高中数学论文:圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版

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用心爱心专心圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用2003年北京高考数学卷第18(III)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则有MQMP.证明:如图1,以M为原点,AB所在的直线为y轴,建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*),设A(0,t),B(0,-t),知t,-t是02FEyCy的两个根,所以0E.若CD,EF有一条斜率不存在,则P,Q与A,B重合,结论成立.若CD,EF斜率都存在,设C(x1,k1x1),D(x2,k1x2),E(x3,k2x3),F(x4,k2x4),P(0,p),Q(0,q),111131132)(:xkxxxxxkxkyCE,132131111131132)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp,同理242142)(xxkkxxq,所以)()()]()()[(13244321214321xxxxxxxxxxxxkkqp将xky1代入(*)得0)()(12211FxEkDxCkBkA,又0E得21121CkBkADxx,21121CkBkAFxx,同理22243CkBkADxx,22243CkBkAFxx,所以0qp,即MQMP.注:2003年高考数学北京卷第18(III)题,就是定理1中取圆锥曲线为椭圆,AB为平行长轴的弦的特殊情形.定理2:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M的直线l∥AB,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线l于P,Q,则有MQMP.证明:如图2,以M为原点,AB所在的直线为y轴,建立直角坐标系.FEMPQDCBAyx图1用心爱心专心设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*),设A(11,yx),B(21,yx),则切线MA的方程是02211FyExD,切线MB的方程是02221FyExD,得0)(21yyE,所以0E.(下面与定理1的证明相同,略)特别的,当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时,点M在圆锥曲线的该对称轴上.性质1:过点M(m,0)做椭圆、双曲线12222byax的弦CD,EF是其焦点轴,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:max2上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时,l就是过焦点的直线.证明:如图3,过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则根据定理1,定理2得MQMP.过G做GH垂直焦点轴所在直线于H,得FHFMHGMQHGMPHEEM,设M(m,0),H(n,0),焦点轴长为2a,则有namanama,得2amn.注:性质1就是文[1]中的性质1,文[2]中的推论2.若圆锥曲线为抛物线,把无穷远点作为其虚拟顶点,把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线,于是得到性质2.性质2:过点M(m,0)做抛物线pxy22的弦CD,E是抛物线的顶点,直线DF与抛物线的对称轴平行,则直线CE、DF的连线交点在直线l:mx上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时,l就是过焦点的直线.注:2001年全国高考数学卷第18题,就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2,文[2]中的推论1.FEMPQDCBAyx图2yHGOFEMPQDCBAx图3用心爱心专心性质3:直线l:max2,过点M(m,0)做椭圆、双曲线12222byax的弦CD,直线l与CD交于点I,则DIDMCICM.证明:如图4,由定理1,定理2及性质1得:DIDMIGMQIGMPCICM.性质4:过点M(m,0)做椭圆、双曲线12222byax的弦CD、EF,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:max2上.证明:如图5,过G做GH垂直焦点轴所在的直线,由定理1,定理2得:DIDMIGMQIGMPCICM,由性质3得,点I在直线l:max2上,所以点G在直线l:max2上.类似性质3、性质4得到性质5、性质6.性质5:直线l:mx,过点M(m,0)做抛物线pxy22的弦CD,直线l与CD交于点I,则DIDMCICM.性质6:过点M(m,0)做抛物线pxy22的弦CD、EF,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:mx上.注:文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形,即取M为焦点时,直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.性质7:过点M(m,0)做椭圆、双曲线12222byax的弦CD,则以C,D为切点的圆锥IyHGOFEMPQDCBAx图4图5EIyHGOFMPQDCBAx用心爱心专心曲线的切线的交点G在直线l:max2上.证明:如图6,设切线CG交直线l于G1,连接G1D,若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F,做直线FM交圆锥曲线于E,由性质4知CE与DF的交点在直线l上,所以C、E、G1三点共线,与CG1是圆锥曲线的切线矛盾,所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D,G1D是圆锥曲线的切线,G1与G重合,G在直线l上.性质8:过点M(m,0)做抛物线pxy22的弦CD,则以C,D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l:mx上.注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形,就是文[4]中的定理1.性质9:直线l:max2,过点M(m,0)做椭圆、双曲线12222byax的弦CD,C、D在l上的射影为C1、D1,在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2,则2121DDDDCCCC.证明:如图7,由性质3得:2211CCDDDICIDMCMDDCC,所以2121DDDDCCCC.性质10:直线l:mx,过点M(m,0)做抛物线pxy22的弦CD,C、D在l上的射影为C1、D1,在对称轴上的射影为C2、D2,则2121DDDDCCCC.注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3,文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.性质11:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交于点G,过G做GI∥AB,直线GI交FE于I,则FIFMEIEM.证明:如图8,直线CE与DF交直线AB于P,Q,yHGOFMDCx图6IyD2OFC2MC1DCD1x图7IGFEMPQDCBA图8用心爱心专心由定理1得:MQMP,所以FIFMIGMQIGMPEIEM.性质12:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交于点G,过G做GI∥AB,直线GI交FE于I,则FIFMEIEM.性质11,12可认为是性质1,2,3,5的推广,从性质11,12出发可以得到类似性质4,6,7,8,9,10的结论,限于篇幅,本文不再给出。参考文献1金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报,2003,72陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报,2002,63廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报,2003,44李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报,1999,25姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报,2003,7

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