高中数学试题三角函数单元复习题(二)

1三角函数单元复习题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知x∈(－π2，0)，cosx＝45，则tan2x等于（）A.724B.－724C.247D.－2472．3cosπ12－sinπ12的值是（）A.0B.－2C.2D.23．已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β的值为（）A.π4或3π4B.3π4C.π4D.2kπ＋π4(k∈Z)4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）A.34B.38C.18D.145．若f(cosx)＝cos2x，则f(sinπ12)等于（）A.12B.－12C.－32D.326．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－3cos(120°－x)的值为（）A.12B.32C.1D.07．已知sinα＋cosα＝13，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为（）A.89，179B.－89，179C.－89，－179D.－89，±1798．在△ABC中，若tanAtanB1，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定9．化简cos（π4＋α）－sin（π4＋α）cos（π4－α）＋sin（π4－α）的结果为（）A.tanαB.－tanαC.cotαD.－cotα10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为（）A.－12B.12C.－1D.12二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．sin70＋cos150sin80cos70－sin150sin80的值等于_____________.12．若1－tanA1＋tanA＝4＋5，则cot(π4＋A)＝_____________.13．已知tanx＝43(π＜x＜2π)，则cos(2x－π3)cos(π3－x)－sin(2x－π3)sin(π3－x)＝_____.14．sin(π4－3x)cos(π3－3x)－cos(π6＋3x)sin(π4＋3x)＝_____________.15．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则sin(α＋π4)·sin(π4－α)的值为____________.16．已知5cos(α－β2)＋7cosβ2＝0，则tanα－β2tanα2＝_____________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知cos(α－π6)＝1213，π6＜α＜π2，求cosα.18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值.20．（本小题满分15分）已知cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈(π，32π)，α＋β∈(32π，2π)，求β.21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝23π，(2)tanα2tanβ＝2－3同时成3立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.三角函数单元复习题（二）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．2－312．4＋513．－3514．2－6415．【解析】∵tan(α＋π4)＝tan［(α＋β)－(β－π4)］＝322∴原式＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)sin2(α＋π4)＋cos2(α＋π4)＝tan(α＋π4)1＋tan2(α＋π4)＝66493.16．【解析】由5cos(α－β2)＋7cosβ2＝0得：5cos（α－β2＋α2）＋7cos（α－β2－α2）＝0展开得：12cosα－β2cosβ2＋2sinα－β2sinβ2＝0，两边同除以cosα－β2cosβ2得tanα－β2tanα2＝－6.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知cos(α－π6)＝1213，π6＜α＜π2，求cosα.【解】由于0＜α－π6＜π3，cos(α－π6)＝1213所以sin(α－π6)＝1－cos2(α－π6)＝513所以cosα＝cos［(α－π6)＋π6］＝123－52618．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.【解】∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝04又α∈(0，π2)，∴cos2α0，sinα＋10.故sinα＝12，α＝π6，tanα＝33.19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值.【解】因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A2＋C2＝π3∴tan(A2＋C2)＝3，由两角和的正切公式，得tanA2＋tanC21－tanA2tanC2＝3tanA2＋tanC2＝3－3tanA2tanC2tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝3.20．（本小题满分15分）已知cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈(π，32π)，α＋β∈(32π，2π)，求β.【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.【解】∵π＜α＜32π，32π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.又∵cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sinα＝－513，sin(α＋β)＝－7226故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝17226×（－1213）＋（－7226）（－513）＝－22.而0＜β＜π，∴β＝34π.【评注】本题中若求sinβ，则由sinβ＝22及0＜β＜π不能直接推出β＝34π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝23π，(2)tanα2tanβ＝2－3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.【分析】这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到α2与β的正切，所以需将条件（1）变成α2＋β＝3，然后取正切，再与（2）联立求解.【解】由（1）得：α2＋β＝π35∴tan(α2＋β)＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3将（2）代入上式得tanα2＋tanβ＝3－3.因此，tanα2与tanβ是一元二次方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两根，解之得x1＝1，x2＝2－3.若tanα2＝1,由于0＜α2＜π4.所以这样的α不存在；故只能是tanα2＝2－3，tanβ=1.由于α、β均为锐角，所以α＝π6，β＝π4故存在锐角α＝π6，β＝π4使（1）、（2）同时成立.