高中数学说题

高中数学说题“教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说：“说题”是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。“说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。一、“说题”要注重“题”的选择美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。二、“说题”之“五说”教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。说题稿东北育才学校王成栋问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III）若函数)(xfy的图像与x轴交于BA、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0'xf．说题目立意（1）考查求导公式（包括形如)(baxf的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。说解法（Ⅰ）解：)(xf的定义域为),0(，（解决函数问题，定义域优先的原则）1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx（常见函数的导数公式及导数的四则运算）（ⅰ）若,0a则0)('xf，所以)(xf在),0(单调递增；（ⅱ）若,0a则由0)('xf得ax1，当)1,0(ax时，0)('xf，当),1(ax时，0)('xf（导数法研究函数单调性，涉及分类讨论的思想）1()(0,)fxa在单调递增，在1(,)a单调递减.综上，当0a时，)(xf在),0(单调递增；当0a时，1()(0,)fxa在单调递增，在1(,)a单调递减.归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。（II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“)1()1(xafxaf”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。解析：方法一：构建以x为主元的函数设函数11()()(),gxfxfxaa（构造函数体现划归的思想）则axaxaxxg2)1ln()1ln()(，（这是本题的难点，很多学生不知要吧)(xg朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握)(baxf型。）2223'12211)(xaxaaaxaaxaxg（)(baxf型的复合函数求导）当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时，11()().fxfxaa方法二：构建以a为主元的函数设函数)1()1()(xafxafag，则axaxaxag2)1ln()1ln()(2223'12211)(xaaxxaxxaxxag由ax10，解得xa10当xa10时，0)('ag，而0)0(g，所以0)(ag故当xa10，11()().fxfxaa归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。（Ⅲ）分析：判断)(0'xf的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定221xx与a1的大小关系，又可等效成判断12xa与2x的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定)2(1xaf与)(2xf的大小关系，结合（Ⅰ）中)(xf单调性，问题迎刃而解。解：由（I）可得，当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点，故0a，从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则（结合图象分析更方便）由（II）得)()()11()2(2111xfxfxaafxaf（注意前后两问的衔接）又)(xf在1(,)a单调递减所以1221021,.2xxxxxaa于是（利用函数性质脱掉函数符号）由（I）知，0()0.fx归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。说数学思想方法数学思想：（1）分类讨论思想（2）转化划归思想（3）数形结合思想数学方法：（1）导数法确定函数单调性（2）构造函数法证明不等式说试题背景来源我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于09、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析：2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。首先从题干上分析：09年辽宁省理科21题题干：21()(1)ln,12fxxaxaxa10年辽宁省理科21题题干：1ln)1()(2axxaxf11年辽宁省理科21题题干：xaaxxxf)2(ln)(2这三年都以)()()(xhxgxf型出现，其中)(xg为对数xln的形式，)(xh为二次函数型。略有不同的的是参数a出现的位置稍有不同。另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。从这三年的最后一问来看，09年（II）证明：若5a，则对于任意1212,(0,),,xxxx有1212()()1fxfxxx10年（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围.11年（II）若函数)(xfy的图像与x轴交于BA、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0'xf．09年与10年问题本质相同，都是割线斜率或斜率的绝对值大于或大于等于某一常数(就是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等式恒成立问题。11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于0，其实0)(0'xf中的“0”在本题中仍为割线斜率，即曲线的割线AB的斜率为0，由此我们不难看出，出题人的命题思想与意图。另外，我们再来研究10年天津高考数学理科21题已知函数()()xfxxexR．(Ⅰ)求函数)(xf的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数)(xgy的图象与函数)(xfy的图象关于直线1x对称．证明当1x时，)()(xgxf；(Ⅲ)如果12,xx且12()(),fxfx证明122xx．与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。一般来说，高考试题来源可能有四个方面：一教材试题，二经典试题的改编，三往年高考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。通过以上两个方面对试题来源的分析，我们有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。题目的几何背景：任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景无论是函数xxexf)(还是)0()2(ln)(2axaaxxxf其实都是先减后增的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在x的指定的某一范围下，)()(xgxf、两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第（II）问。由于)(xf为单峰函数，图像关于直线0xx（0x为函数的极值点）不对称，导致直线my（或x轴）与曲线相交时，交点BA、到直线0xx的距离不等，进而出现AB重点M在0xx的右侧，也就出现试题中的第(III)问。说问题变式与拓展对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。问题变式一：已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（III）若函数)(xfy的图像与直线my交于BA、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0'xf．编题意图：将特殊直线0y（或x轴）变成一般的直线my，体现从特殊到一般。问题变式二：已知函数)0(ln)(2abxaxxxf，（III）若函数()yfx的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0'()0fx．编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。问题变式三：已知函数xxxfln)(（1）求)(xf的单调区间；（2）求证：,0ex)()(xefxef（3）设图象与直线my的两交点分别为)(,()(,(2211xfxBxfxA、，AB中点横坐标为,0x证明：0)(0'xf编题意图：跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。问题变式四：已知函数axxxxf2ln2)(，若函数的图象与x轴交于两点1(,0)Ax、2(,0)Bx，且120xx.若正常数,pq满足1,pqqp.求证：.0)(21'qxpxf编题意图：将中点变成任意分点，来改编试题。