高中数学选修1-2第三章第一节归纳推理

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学归纳推理一、教案背景1、面向学生：√中学□小学2、学科：数学3、课时：14、学生课前准备：①预习本课内容②各小组讨论日常生活中见到的哪些现象或学过的数学知识都属于归纳推理③查询百度网站收集归纳推理的有关资料以及数学史上的有关知识二、教学目标1.知识与技能目标：理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.2.过程与方法目标：学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用.3.情感、态度与价值观：通过介绍数学史上的著名猜想（哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想、哥尼斯堡七桥猜想）及其发现过程，习题中适当引入数学命题（杨辉三角）渗透数学文化，激发学习兴趣，让学生感受数学的文化价值，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。三、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1-2）中第三章《推理与证明》第一节的第一课时。《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，培养成言之有理，论证有据的好习惯；学习这一章，要突出体现数学的人文价值和实际应用价值。本节课所要学习的归纳推理是合情推理的一种。归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，其得出的结论不一定可靠，但它是人们发现新事实、获得新结论，做出科学发现的重要手段。事实上，研究归纳推理的真实目的，就是把几个事实中蕴含的共性，通过变形、语言转换、多角度观察等手段，观察归纳出“共性”，进而提出猜想，并达到利用归纳推理发现新事实，获得新结论的目的。因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学发现的过程的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质，在教学过程中教师的立意是把归纳推理作为一个重要的数学思维的过程，让学生了解归纳推理的含义，着重学会用归纳的方法进行数学推理和猜想。教学重点：归纳推理的概念、归纳推理的思维过程及归纳推理的特点。教学难点：归纳推理概念的形成过程上课之前用百度在网上搜索归纳推理的相关教学材料，找了一些教案和资料作参考，了解到教学的重点和难点，确定课堂教学形式和方法。然后根据本节课堂教学需要，利用百度搜索有关归纳推理的视频，课堂放给学生观看，让学生加强了解。用百度网上搜索下载关于归纳推理中涉及到的数学史上的一些著名的猜想（哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想、哥尼斯堡七桥猜想)的图片，加深学生的印象。利用百度搜索一些关于归纳推理的信息和资料，做成PPT让学生欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜想和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用。四、教学过程（一）创设情境，导入新课情境1、《狼来了》的故事视频播放【百度搜索】小时候我们经常听老人讲《狼来了》的故事，当第三次牧羊小孩发出求救声，村民都说：“这调皮的孩子骗了我们两次，这回准是又骗咱们的，别理他接着干活吧。”村民们是怎样作出这个结论的？设计意图：从身边最熟悉的寓言故事中感悟归纳推理的过程，体会生活处处皆数学！情境2、《神探狄仁杰第四部第2集》播放一小段狄公推理办案的视频【百度搜索】让学生仔细观察狄仁杰是如何进行推理的？设计意图：利用教学视频创设情境，从学生最感兴趣的话题入手，不仅引出课题，还揭示了数学的作用：学好合理推理，也许当代的狄仁杰就是你！情境3、数学中有各种各样的猜想，如著名的哥德巴赫猜想任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。【百度搜索】费马猜想：（任何形如n22+1（n∈N*）的数都是质数。）【百度搜索】地图的“四色猜想”【百度搜索】哥尼斯堡七桥猜想【百度搜索】等等。你知道这些数学猜想是怎样提出来的吗?如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……设计意图：重温哥德巴赫提出猜想的过程，让学生初步感知归纳推理的含义和特点，为后面概念的建构做好铺垫。问题1：什么叫推理？学生思考片刻后由教师从这两个推理案例说明推理的含义。问题2：怎样进行推理呢？教师说明：今天我们就来研究推理的一种常用方法，这就是归纳推理。问题3：那么怎样的推理是归纳推理呢？先看下面的几个推理案例：情境4：三角形的内角和是180o；凸四边形的内角和是2×180o；凸五边形的内角和是3×180o；三角形、凸四边形、凸五边形都是凸多边形。由此我们猜想：凸n边形的内角和是（n-2）×180o情境5：当n=1时，n2-n+11=11，是质数；当n=2时，n2-n+11=13，是质数;当n=3时，n2-n+11=17，是质数;当n=4时，n2-n+11=23，是质数；其中1，2，3，4都是正整数。由此我们猜想：当n取任意正整数时，n2-n+11是质数。（二）数学建构最后，师生一起将上述推理进行“符号化”，即将具体的、不同的对象进行抽象、概括，统一用字母表示：如将三角形、n=1均用S1表示，凸四边形、n=2均用S2表示，凸五边形、n=3均用S3表示，……；凸多边形、正整数均称为S类事物，从而S1、S2、S3均为S类事物中的对象；将“内角和为边数-2个180o”、“n2-n+11是质数”均称为性质P，于是就得到了归纳推理的一般结构形式（见前）。在此基础上，让学生分析这种推理形式的特点，感受“特殊与一般”的特点：条件（即推理前提）中的前件均为结论中前件的特例，于是结论是条件一般形式。(三)初步运用请同学们也举出具有上述结构特征的推理的例子。留下充分的时间让学生思考、研究、讨论，在此基础上汇报自己想到的例子，并将其与上面两个例子进行比对，以判断是否符合结构特征的要求。1.学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）2.观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？3.整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。教师指导，合作交流，归纳：22VVV棱柱棱台棱锥＝－，32EEE棱柱棱台棱锥＝，1FFF棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。（在多面体中的运用:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2。这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律）【百度搜索】试归纳出一般性的结论。多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446四棱锥558三棱柱569五棱锥6610立方体6812正八面体8612五棱柱71015截角正方体71015尖顶塔9916归纳推理定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).（对上述问题，让学生充分思考，并引导其对猜想的结论进行检验，看是否符合归纳推理的形式。检验方法就是将一般性结论特殊化后可以得到已知的各个特例。）在此基础上提出问题4：上述的归纳推理是怎样进行的呢（即：如何进行归纳推理）？由学生总结出归纳推理的思维过程：→→（四）进一步的认识进一步地，提出问题5：猜测的一般结论是否成立呢？即归纳推理的可靠性如何？让学生充分思考，既可以从归纳推理的前提与结论之间的关系分析，也可以从思维过程中的语句的含义上看，如果学生不能发现，还可以引导学生对情境5进行考察。这种考察可以使学生知道：否定一个猜想只要举一个反例就可以了。至此，下一个问题就可以自然地提出来了：问题6：归纳推理所得到的结论并不可靠，为什么还要学习归纳推理呢？情境6：哥德巴德赫猜想（先说明一下哥德巴赫的学术背景与数论的主要研究对象）：1742年，哥德巴赫观察到：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13，18=5+13=7+11，20=3+17=7+13。由此，你能想到什么？让学生充分思考，最后介绍哥德巴赫猜想及陈景润的工作。【百度搜索】实验、观察概括、推广猜想一般性结论(五).例题解析例1：在数列{}na中，*1121,,2nnnaaanNa猜想这个数列的通项公式？解析：先由学生计算：234521222,,,32456aaaa归纳：*2()1nanNn说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长；任务二：归纳、猜想一般性结论。推广观察归纳计算猜想（六）分层练习：1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？2．观察下列式子，归纳结论：32111，332129(12)，333212336(123)，333321234100(1234)，问：3333123?n33．．右图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有点；4．已知数列na中，边形3468最小周长4．5643．723．64(2)(3)(4)(5)(1)已有知识矩形面积一定时正方形周长最小面积一定时，圆的周长最小n边形面积一定时(为1)，正n边形周长最小*111,()1nnnaaanNa且，试归纳这个数列的通项公式。答案：1．金属导电;2．33332123(123)nn;3．21nn;4．*1()nanNn.（七）课时小结（师生共同）1.什么是归纳推理?（归纳推理的概念、三个特点(从特殊到一般；结论具有猜测性，或然性，不能作为数学证明的依据；具有创造性)）。2.归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。（八）布置作业：习题3－1P571，2下面是杨辉三角的前6行，试着猜想一下，第15行的数字？11112113311464115101051................................拓展延伸：1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更；⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；