高中数学选修2-2作业第2章2.2.1

§2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法课时目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．综合法和分析法综合法分析法定义利用________和某些数学______、______、______等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示________、已有的______、______、______等，Q表示____________)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(Q表示所要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则()A．S≥2PB．PS2PC．SPD．P≤S2P3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为()A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D．无实根4．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac5．若f(n)＝n2＋1－n，g(n)＝n－n2－1，φ(n)＝12n，n∈N*，则f(n)、g(n)、φ(n)的大小关系为()A．f(n)g(n)φ(n)B．f(n)φ(n)g(n)C．g(n)φ(n)f(n)D．g(n)f(n)φ(n)6．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2b2＋c2D．a2≤b2＋c2题号123456答案二、填空题7．如果aa＋bbab＋ba，则正数a，b应满足的条件是________．8．设a、b、u都是正实数且a、b满足1a＋9b＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是____________．9．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a、b的大小关系为________________________________________________________________________．三、解答题10．设a，b0，且a≠b，求证：a3＋b3a2b＋ab2.11．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)||a－b|.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(Q表示所要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法作业设计1．A2．D[∵S－P＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴S≥P.2P＝2ab＋2bc＋2ca＝(ab＋bc)＋(ab＋ca)＋(bc＋ca)＝b(a＋c)＋a(b＋c)＋c(b＋a)b2＋a2＋c2，即2PS.]3．A[由于函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，因此图象与x轴的交点最多就是一个．]4．C[利用函数单调性．设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，∴0xe时，f′(x)0，f(x)单调递增；xe时，f′(x)0，f(x)单调递减．又a＝ln44，∴bac.]5．B[f(n)、g(n)可用分子有理化进行变形，然后与φ(n)进行比较．f(n)＝1n2＋1＋n12n，g(n)＝1n＋n2－112n，∴f(n)φ(n)g(n)．]6．C[由cosA＝b2＋c2－a22bc0，得b2＋c2a2.]7．a≠b解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有aa＋bbab＋ba.8．(0,16]解析u≤(a＋b)1a＋9b恒成立，而(a＋b)1a＋9b＝10＋ba＋9ab≥10＋6＝16，当且仅当ba＝9ab且1a＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a＝4，b＝12.∴0u≤16.9．ab解析a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，明显67，故ab.10．证明方法一分析法要证a3＋b3a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)成立，又因a＋b0，只需证a2－ab＋b2ab成立，只需证a2－2ab＋b20成立，即需证(a－b)20成立．而依题设a≠b，则(a－b)20显然成立．由此命题得证．方法二综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)20⇒a2－2ab＋b20⇒a2－ab＋b2ab.注意到a，b∈R＋，a＋b0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)．∴a3＋b3a2b＋ab2.11．证明要证原式，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，即只需证bc＋c2＋a2＋abab＋b2＋ac＋bc＝1，而由题意知A＋C＝2B，∴B＝π3，∴b2＝a2＋c2－ac，∴bc＋c2＋a2＋abab＋b2＋ac＋bc＝bc＋c2＋a2＋abab＋a2＋c2－ac＋ac＋bc＝bc＋c2＋a2＋abab＋a2＋c2＋bc＝1，∴原等式成立，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.12．AC⊥BD解析从结论出发，找一个使A1C⊥B1D1成立的充分条件．因而可以是：AC⊥BD或四边形ABCD为正方形．13．证明原不等式即|1＋a2－1＋b2||a－b|，要证此不等式成立，即证1＋a2＋1＋b2－21＋a2·1＋b2a2＋b2－2ab.即1＋ab1＋a2·1＋b2.当1＋ab0时不等式恒成立，当1＋ab≥0时，即要证1＋a2b2＋2ab(1＋a2)(1＋b2)，即2aba2＋b2，由a≠b知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．