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1第一章第三节空间几何体的表面积和体积（4）时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·全国高考卷Ⅰ)某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[答案]B2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为()A．6B．32C．62D．12[答案]D[解析]△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×6×4＝12.3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()A．3034B．6034C．3034＋135D．135[答案]A[解析]由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为922＋1522＝3234，则这个菱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.24．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A．324πR3B．38πR3C．525πR3D．58πR3[答案]A[解析]依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为R2，高为32R，所以圆锥的体积为13×π×(R2)2×32R＝324πR3.5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1V2＝()A．B．C．D．[答案]D[解析]V1V2＝(Sh13Sh)＝6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．163πB．193πC．1912πD．43π[答案]B[解析]设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O的中点，于是R2＝(12)2＋(33×2×23)2＝1912，因此所求球的表面积是4πR2＝4π×1912＝19π3，选B．7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π[答案]C[解析]设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所3以S表＝4πr2＝4π.8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为()A．1B．12C．13D．16[答案]C[解析]该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P－ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四边形ABCD为正方形，则V＝13×12×1＝13，故选C．9．(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛[答案]B4[解析]设圆锥底面半径为r，则14×2×3r＝8，∴r＝163，所以米堆的体积为14×13×3×(163)2×5＝3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B．9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3[答案]A[解析]设上，下底面半径为r，R.则2πR＝3×2πr，所以R＝3r.又π(r1＋r2)l＝S侧，所以S侧＝π(3r＋r)×3＝84π，所以r＝7.10．正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是()A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3[答案]B[解析]由题意知棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，∴底面正三角形的边长为6cm，正三棱柱的底面面积为93cm2，∴此三棱柱的体积V＝93×23＝54(cm3)．11．(2014·课标全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A．1727B．59C．1027D．13[答案]C[解析]由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．5切削掉部分的体积V1＝π×32×6－π×22×4－π×32×2＝20π(cm3)，原来毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)．故所求比值为V1V2＝20π54π＝1027.12．(2013·全国Ⅰ·理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm3[答案]A[解析]设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.∴球的体积为4π×533＝5003cm3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，三视图完全一样的是__________________.[答案]②④14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________.[答案]6415．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________.[答案]11[解析]设棱台的高为x，则有(16－x16)2＝50512，解之，得x＝11.616．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________.[答案]36＋128π[解析]由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为V＝12×3×4×6＋16π×8＝36＋128π.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长为10cm.求圆锥的母线长．[解析]如图，设圆锥母线长为l，则l－10l＝14，所以l＝403cm.18．(本小题满分12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．7(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．[解析](1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC＝3a，AD是正六棱锥的高，即AD＝3a，所以该平面图形的面积为12·3a·3a＝32a2.(3)设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则S＝6×34a2＝332a2，所以V＝13×332a2×3a＝32a3.19．(本小题满分12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．[解析]因为V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134(cm3)，V圆锥＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，134201，所以V半球V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．(本小题满分12分)(2015·湖南常德上学期期末)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．8[解析]由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π(32)2×1＝7π4.21．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？[解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.在Rt△SOP中，SO＝7(m)，OP＝12BC＝1(m)，所以SP＝22(m)，则△SAB的面积是12×2×22＝22(m2)．所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m2)，即制造这个塔顶需要82m2铁板．22．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．[解析](1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为94×12×2a×32×2a＝23a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2＝33.(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4×13×12a2×a＝a33.