高中数学选修人教A学案1.3.1二项式定理

11．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用奎屯王新敞新疆教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb奎屯王新敞新疆⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，∴40413222334444444()abCaCabCabCabCb．二、讲解新课：二项式定理：01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN⑴()nab的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：na，nab，…，nrrab，…，nb，⑵展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即0nC种，na的系数是0nC；恰有1个取b的情况有1nC种，nab的系数是1nC，……，2恰有r个取b的情况有rnC种，nrrab的系数是rnC，……，有n都取b的情况有nnC种，nb的系数是nnC，∴01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()nab的二项展开式，⑶它有1n项，各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数，⑷rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rnrrrnTCab．⑸二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．展开41(1)x．解一：411233444411111(1)1()()()()CCCxxxxx23446411xxxx．解二：4444413123444111(1)()(1)()1xxCxCxCxxxx23446411xxxx．例2．展开61(2)xx．解：66311(2)(21)xxxx61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx32236012164192240160xxxxxx．3第二课时例3．求12()xa的展开式中的倒数第4项奎屯王新敞新疆解：12()xa的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220TCxaCxaxa．例4．求（1）6(23)ab，（2）6(32)ba的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160TCabab，（2）24242216(3)(2)4860TCbaba．点评：6(23)ab，6(32)ba的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同奎屯王新敞新疆例5．（1）求93()3xx的展开式常数项；（2）求93()3xx的展开式的中间两项奎屯王新敞新疆解：∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx，∴（1）当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC；（2）93()3xx的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423TCxx，159510932693378TCxx奎屯王新敞新疆4第三课时例6．（1）求7(12)x的展开式的第4项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆解：7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx，∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx，∴923r，3r，∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．例7．求42)43(xx的展开式中x的系数奎屯王新敞新疆分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开奎屯王新敞新疆解：（法一）42)43(xx42]4)3[(xx02412344(3)(3)4CxxCxx22224(3)4Cxx3234444(3)44CxxC，显然，上式中只有第四项中含x的项，∴展开式中含x的项的系数是76843334C（法二）：42)43(xx4)]4)(1[(xx44)4()1(xx)(4434224314404CxCxCxCxC0413222334444444(4444)CxCxCxCxC∴展开式中含x的项的系数是34C334444C768．例8．已知nmxxxf4121)(*(,)mnN的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含2x项的系数最小值奎屯王新敞新疆分析：展开式中含2x项的系数是关于nm,的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得3642nm，从而转化为关于m或n的二次函数求解奎屯王新敞新疆解：1214mnxx展开式中含x的项为1124mnCxCx11(24)mnCCx5∴11(24)36mnCC，即218mn，1214mnxx展开式中含2x的项的系数为t222224mnCC222288mmnn，∵218mn，∴182mn，∴222(182)2(182)88tnnnn216148612nn23715316()44nn，∴当378n时，t取最小值，但*nN，∴5n时，t即2x项的系数最小，最小值为272，此时5,8nm．6第四课时例9．已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项奎屯王新敞新疆解：由题意：1221121()22nnCC，即0892nn，∴8(1nn舍去）∴81841()2rrrrTCxx82481()2rrrrCxx1638412rrrrCx08rrZ①若1rT是常数项，则04316r，即0316r，∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；②若1rT是有理项，当且仅当4316r为整数，∴08,rrZ，∴0,4,8r，即展开式中有三项有理项，分别是：41xT，xT8355，292561xT奎屯王新敞新疆例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC，展开式中第三项为2260.0020.00006C，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC，一般地当a较小时(1)1nana奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1.求623ab的展开式的第3项.2.求632ba的展开式的第3项.3.写出n33)x21x(的展开式的第r+1项.4.求732xx的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）53()ab；（2）52()2xx.76.化简：（1）55)x1()x1(；（2）4212142121)x3x2()x3x2(7．5lgxxx展开式中的第3项为610，求x．8．求nxx21展开式的中间项奎屯王新敞新疆答案：1.262242216(2)(3)2160TCabab奎屯王新敞新疆2.262224216(3)(2)4860TCbaab奎屯王新敞新疆3.2331311()()22rnrrnrrrrnnTCxCxx奎屯王新敞新疆4.展开式的第4项的二项式系数3735C，第4项的系数3372280C奎屯王新敞新疆5.（1）335543222333()510105abaababababbbb；（2）5223215()52040322328xxxxxxxxxxxxx.6.（1）552(1)(1)22010xxxx；（2）1111442222432(23)(23)192xxxxxx奎屯王新敞新疆7.5lgxxx展开式中的第3项为232lg632lg551010xxCxx22lg3lg50xx5lg1,lg2xx1010,1000xx奎屯王新敞新疆8.nxx21展开式的中间项为2(1)nnnC奎屯王新敞新疆五、小结：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点奎屯王新敞新疆六、课后作业：P36习题1.3A组1.2.3.4七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、教学反思：(a+b)ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中rnC（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.8掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指rrnrnnnnnnnbababaabaCCC)(22211nnnbC这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时nnn)11(lim=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=x1与积分公式x1=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+!1)(0xf(x－x0)2+…!)(0nxfn(x－x0)n+1000)1()()!1()]([nnxxnxxxf(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教