高中数学选修人教A导学案第3章空间向量与立体几何§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

1§3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示知识点一向量基底的判断已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c与a，b共面．这与a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC→＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案B解析使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB·AC→＝0，可能是BC→·BA→＝0，也可能是CA→·CB→＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.知识点二用基底表示向量在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·OC→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）AP；(2)AM→；(3)AN；(4)AQ→.解连结AC、AD′.（1）AP=1(')2ACAA2=1(')2ABADAA＝12(a＋b＋c)；(2)AM→＝12(AC→＋'AD)=1(2')2ABADAA＝12a＋b＋12c；(3)AN=12(AC′→＋AD′→)＝12[('ABADAA)＋(AD→＋AA′→)]＝12(2AB＋2AD→＋2AA′→)＝12a＋b＋c；(4)AQ＝AC→＋CQ→＝AC→＋45(AA′→－AC→)＝15AB＋15AD→＋45AA′→＝15a＋15b＋45c.【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．已知三棱锥A—BCD.(1)化简12(AB＋AC→－AD→)并标出化简结果的向量；(2)设G为△BCD的重心，试用AB，AC→，AD→表示向量AG→.解(1)设AB，AC，AD中点为E，F，H，BC中点为P.1(2AB＋AC→－AD→)＝AE→＋AF=AP－AH→＝HP→.（2）AG＝AP→＋PG→=AP→＋13PD→=AP→＋13(AD→－AP→)＝23AP→＋13AD→＝23·12(AB＋AC→)＋13AD→＝13(AB＋AC→＋AD→)．知识点三求空间向量的坐标已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求MN的坐标．3解∵PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可设AD＝i，AB→＝i，AD＝j，AP→＝k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN＝MA→＋AP→＋PN＝－23AB＋AP→＋23PC→＝－23AB＋AP→＋23(－AP→＋AD→＋AB)=13AP＋23AD→＝13k＋23AD→＝23i＋13k，∴MN＝23，0，13.【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB=2，|AO|=4，|BO|=2，|AA1|=4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DOAB的坐标.解∵11(),DOODOOOD;11111[()]222OOOAOBOOOAOB又1||OO=4，|OA→|＝4，|OA→|＝4，|OB→|＝2，∴DO→＝(－2，－1，－4)，∴1AB＝(－4,2，－4)．课堂小结：1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．对于OP＝(1－t)OA→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.4一、选择题1．若存在实数x、y、z，使－*6]＝(1－t)OA→＝xOA→＋yOB→＋zOC→成立，则下列判断正确的是()A.对于某些x、y、z的值，向量组{,,PAPBPC}不能作为空间的一个基底B.对于任意的x、y、z的值，向量组{,,PAPBPC}都不能作为空间的一个基底C.对于任意x、y、z的值，向量组{,,PAPBPC}都能作为空间的一个基底D.根据已知条件，无法作出相应的判断;答案A解析当OA→、OB→、OB→、OC→不共面时，PA→，PB→，PC→也不共面，PA→，PB→，PC→能构成空间的一个基底，当OA→，OB→，OC→共面时，则PA→，PB→，PC→也共面，故不能构成空间的一个基底．2.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若OG＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为()A．(14，14，14)B．(34，34，34)C．(13，13，13)D．(23，23，23)答案A解析，因为OG＝34OG1→＝34(OA→＋AG1→)＝34OA→＋34×23[12(AB＋AC→)]＝34OA→＋14[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝14OA→＋14OB→＋14OC→，而OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝14，y＝14，z＝14.故选A.3．在以下3个命题中，真命题的个数是()①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．3答案C解析命题①，②是真命题，命题③是假命题．4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是()A．a,2b,3cB．a＋b，b＋c，c＋aC．a＋2b,2b＋3c,3a－9cD．a＋b＋c，b，c答案C解析－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0.∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面∴选C.5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)答案A解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．二、填空题56.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，AO＝xAB→＋yBC→＋zCC1→，则x＋y＋z＝________.答案32,解析AO＝12AC1→＝12(AB＋BC→＋CC1→)．7.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，PR→＝a，PR→＝b，PS→＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH→＝__________________.答案－23a＋12(b＋c)8.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于1AC的表达式中：①1AA＋A1B1→＋A1D1→；②AB＋DD1→＋D1C1→；③AD＋DD1→＋D1C1→；④11(2AB＋CD1→)＋A1C1→正确的个数是________个．答案3,解析AB＋DD1→＋D1C1→＝AB＋DC1→＝AB＋AB1→≠AC1→，②不正确；11(2AB＋CD1→)＋A1C1→＝11(2AB＋1BA)＋A1C1→=1AA＋A1C1→＝AC1→.④正确；①，③明显正确．三、解答题9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．解由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.由于e1，e2，e3不共面，故得3x－y＋2z＝0①2x＋y－z＝0②x＋3y－4z＝0③①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1，则y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，6所以a，b，c三向量共面．10．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设－*6]·OC→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．（1）用向量a，b，c，表示1,DBEF；（2）若1DF=xa+yb+zc，求实数x,y,z.解（1）1DB=1DD+DB=1AA+ABAD=abc，EF=EA+AF=121DA+12AC=-1111()()()222AAADABADac(2)1DF=111()2AAABAD111()2AAABDD＝12(a－c－b－c)＝12a－12b－c，∴x＝12，y＝－12，z＝－1.