高中数学重点知识

1高中数学重点知识精编（第一辑）目录：第一部分基本知识框架第二部分知识与方法归纳（巩固基础版）1，函数2，数列3，不等式4，直线与曲线方程5，综合第三部分思维方法与解题技巧（能力提升版）第四部分学习方法推荐（综合发展版）2第一部分：高中数学知识基本框架1，基本定义理解：所有高中的数学知识与六部分的内容相关：数，式，方程，函数，几何，以及简单的数学理论基础与应用。什么叫数？简单的说，数就是用来表示某种量的多少的，比如3，67，－9。也可以用字母或其他符号来表示数，比如a,m,这种符号可称为未知数，或者“代数”。什么叫式？数和数学符号组合在一起，便构成“式”。比如1+2,a2,y=x+5.其中，不含字母的式可称为算术式，含字母的成为代数式。但按照初中课本的定义，算术式也可以当作是代数式的一部分。特殊的，含有关系符号（比如＜，=）的称为关系式。什么叫方程？当“算术式”中含有等号的时候，就叫做等式；当“代数式”中含有等号的时候，就叫做方程。所以方程即是特殊的等式。它需要两个条件：1，含等号，2，含未知数。什么叫函数呢？简单的说，当等式中含有两个相关变化的未知数（也就是说，任意确定其中一个未知数的值，就能对应得到另一个未知数的唯一的值）时，这个等式就叫做函数。所以说，函数也就是一种特殊的方程，特殊的等式。什么叫数列？简单的说，当函数中的自变量只能为正整数的时候，就可成为数列的通项或者求和函数。所以，数列就是特殊的函数。而几何，也就是与数相对应的图形。当数与几何相结合，就成为平面向量；当整数与函数相结合，就构成数列，排列组合；当函数与几何相结合，就成为直线方程、曲线方程。2，基本知识框架：平面向量第五章数复数第十四章算术式：代数式：极限第十二章式不等式：不等式第六章关系式等式高中数学直线与圆的方程第七章方程圆锥曲线方程第八章二次函数第二章函数数列第三章三角函数第四章导数与微分第十三章几何直线、平面、简单几何体第九章集合与简易逻辑第一章3理论与应用排列组合第十章概率与统计第十一章第二部分：知识与方法归纳第一篇函数在高中数学中，函数、不等式、数列和方程大约占到百分之七十五的比例。因此，我们在这里重点讲解这几章。函数是高中数学的基础，其知识点主要有三个部分：函数的基本分类；函数的基本性质与证明，以及有关函数的求解。一，函数的基本分类（解析式、定义域、值域）函数名称基本解析式定义域值域一次函数y=kx+b（k≠0）RR二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)R(a4b-4ac2,+∞)（a﹥0时）或（-∞，a4b-4ac2）反比例函数y=xk(k≠0)x≠0，y≠0指数函数y=ax（a≠1且a＞0）R(0,+∞)对数函数y=㏒ax（a≠1且a＞0）（0，+∞）R三角函数y=sinxy=cosxR[-1,1]三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)RR,且有两个极值分式函数y=dcxbax（a、c不为0）x≠-cd因题而异根式函数y=bax(a≠0)X≥-ab(0,+∞)幂函数y=xa(a∈N+)R因a而定高次函数y=xn+xn-1+…x2+x+cR因题而异绝对值函数y=∣x±a∣±∣x±b∣R因题而异常数函数y=ax0=aRa分段函数y=g(x),x≧ay=f(x),x﹤a因题而异因题而异复合函数y=g[f(x)]因题而异因题而异简单超越函数y=g(x)±f(x)[g(x)、f(x)为不同类的基本函数，且一次函因题而异因题而异4基本函数特殊函数以上共有十六种函数形式，其中前十三种为基本初等函数，须背住！二，函数的基本性质（五种）1，单调性.在定义域中的某一区间内，任取两个点x1,x2,当x1﹥x2时，都有f(x1)﹥f(x2),则称该函数在这一区间内单调递增，为增函数。反之为减函数。奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。单调性的证明：第一步，取点x1,x2属于某区间，第二步，规定x1,x2的大小，第三步，做f(x1)与f(x2)的差或者商，再与0或者1比较。见例1.也可求导，判断导函数的正负，再判断单调性。2，奇偶性.数与二次函数在一起不算]5定义：对于函数f(x),如果对于任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；如果f(-x)=-f(x),则为偶函数。性质：（1）奇函数、偶函数的定义域关于0对称；奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。（2）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数。（3）两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数。（4）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数。（5）f(x)为偶函数，则f(x)=f(∣x∣)(6)若f(x)为奇函数，定义域包含0，则f(0)=0.（7）若f(x)既是奇函数也是偶函数，则f(x)=0.奇偶性的证明：若能证明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则为奇函数；若能证明等式f(-x)=-f(x)或f(-x)-f(x)=0，则可证得为偶函数。见例2.3，周期性.对函数f(x),存在常数T（不等于0），使得f(x)=f(x+T).则称f(x)为周期函数。T为函数的周期。且kT也为函数的周期。若f(x)满足f(x+a)=f(x+b)恒成立，其中a,b均为常数，且a≠0,则T=a－b是函数的一个周期。4，反函数性.求反函数：先解出x,然后互换x,y,再标出定义域。（若先交换x,y也可求出。）见例3.（1）反函数与原函数的图像关于直线y=x对称。（2）反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。（3）反函数一定具有单调性。奇函数的反函数也是奇函数。而偶函数不一定具有。5，图像平移与对称性.水平平移：y=f(x±a)（a0）的图像是由y=f(x)的图像向左或向右平移a个单位得到；竖直平移：y=f(x)±b(b0)的图像是由y=f(x)的图像向上或向下平移b个单位得到。（1）若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(m－x),则y=f(x)的图像关于直线x=m对称；y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点（a,b）中心对称。（2）把函数y=f(x)的图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，就得到y=∣f(x)∣图像；把函数y=f(x)的图像位于y轴右边的部分以y轴为对称轴翻折到左边，就得到y=f(∣x∣)在y轴左边部分的图像。（3）若f(a+x)=f(b－x),x∈R恒成立，则y=f(x)的图像关于x=(a+b)/2成轴对称图形。（4）若函数f(x)关于x=m和x=n对称，则f(x)是周期函数，且2∣m－n∣是它的一个周期。（5）函数y=f(a+x)与函数y=f(b－x)的图像关于直线x=(b－a)/2对称。三，函数的求解（五种）1,求函数的解析式方法一：直接代入法。已知f(x)与g(x),求f[g(x)],直接把g(x)代入f(x)即可。见例4.方法二：换元法。有几种换元的方式。已知f(x)和f[g(x)]求g(x)；或已知f[g(x)]和g(x).求f(x).用换元法。见例5，6.方法三：待定系数法.已知函数的类型时，用待定系数法。见例7.方法四：解函数方程组。要求给出的函数关系式是对称的。通常先用赋值法得出函数方程组，再求解，即可。见例8。2，求函数的定义域（基本思路：转化为解不等式）6步骤：写出使函数有意义的不等式组；解不等式组；用区间或集合的形式写出定义域。（1）判断函数定义域的主要依据：（1），分式的分母不为0，（2），偶次方根的被开方数不小于0，0的0次方无意义；（3）对数函数的真数必须大于0；指数函数与对数函数的底数必须大于0且不等于1.见例9.（2）求复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为【a,b】,则复合函数f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解。见例10.（3）若遇到实际问题，还要考虑实际问题有意义。3，求函数的值域（最值）方法一：基本函数法。对于基本函数，如果定义域无特殊规定，那么可根据函数的图像性质直接求解。见例11.方法二：配方法（二次函数法）。对于形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的函数，可用配方法求值域。（见例）见例12.方法三：分区讨论法。对于定义域有特殊规定的二次函数，一般采用分区讨论（以两个零点和对横轴横坐标点为分界，可以把整个区间分成四段，加上对称轴的情形，共有五种可能情况，如果二次项系数不定，还需要讨论开口方向），再借助于区间单调性来求（见例）。定义域有规定的其他类型（对数函数、指数函数、根式函数、幂函数、一次函数、高次函数等）基本函数都可直接利用函数的单调性来判断函数的最值。分段函数也用分区讨论法。见例13，14.方法四：反函数法。对于y=dcxbax（a、c不为0）的一次分式的形式，可以通过求反函数的定义域来求。（见例15）.简单结论为y∈R且y≠a/c.也可用分离常数法来求解。但是，当定义域有特殊规定时，就要求出反函数后解不等式。(见例16.)方法五：判别式法。对于形如y=(ax2+bx+c)/dx2+ex+f的二次分式形式,可先转化为关于x的方程，此方程必须有解，故当二次项系数不为0时，△≥0。解出便得到值域。注意，定义域不能有特殊规定。见例17。方法六：辗转求值法。对于复合函数，首先看它化简出来是否还是基本函数，若是，先化简出最简表达式，再用基本函数的求值域法求；若不是，就可以先求出y=f[g(x)]中y=g(x)的值域T，再把T当作y=f(x)的定义域，求出其值域。见例18.方法七：单调性法。对于超越函数，首先判断是否具有单调性，若有，则直接利用单调性来求。若没有，则通过换元法转化成复合函数，再求值域。见例19.判断单调性的常用方法：（1）增＋增﹦增减＋减﹦减增－减﹦增减－增﹦减（2）f(x)与1/f(x)的单调性相反（3）当c大于0时，f(x)与cf(x)的单调性相同；当c小于0时，二者单调性相反。（4）f(x)﹦x+xa,当a﹥0时，在（－∞，－√a）和（√a，∞）为增函数，在（－√a，0）和(0,√a)为减函数。（5）若f(t)与t(x)的单调性相同，则f[t(x)]为增函数；若相反，则f[t(x)]为减函数。方法八：换元法。对于由一次函数和根式函数合成的超越函数（y=ax+b+dcx）,用换元法化成二次函数，再求值域。见例20还有的函数可用三角换元。（见例21）此外，还有平方法（对于两个二次根式的组合函数，且不具备单调性时，平方后可以化简，例22），几何法（可将绝对值、根式等构造成点与点、点与线的距离时，例23），不等式法（对于定义域有限定的分式函数、绝对值函数等，例24），函数有界性法（主要是对于三角函数，例25）导数法（对于三次函数）等。常用运算技巧：1，分式分部法（分离常数法）：对于y=(ax2+bx+c)/x的形式，可化简为y=ax+b+c/x,再利用函数f(x)﹦x+xa的单调性来求出值域。见例26.2，取倒数法：对于y=x/(ax2+bx+c)的形式，取导数，就化成1/[(ax2+bx+c)/x].再用分式7分部法求解。见例27.3，分子有理化法。对于y=1x－1-x,此函数不具有单调性，也无法通过换元化简，这时可先用性质（a+b）(a-b)=a2－b2,化为y=2/(1x+1-x),然后可根据单调性求解。见例28.4，求值。本质上说，这就是解方程。一般的，解开一个未知数需要一个方程式，解开两个就需要两个方程。列方程的方法：（1）根据题目已知等量关系列出方程。（2）常用隐含等式：①f(x)为奇函数，且x可以等于0，则f(0)=0.见例29.②f(x)为二次函数且有两个相同的解，则判别式△=0.③已知y=f(x)，ayb,可以解出f(x)的值域为(m,n),则m=a,n=b.特别的，若原式可写成关于y的二次函数，则有y1+y2=a+b,y1y2=ab。例30.（3）赋值法：对于某些特殊类型函数，可以通过赋特殊值把函数转化为方程，再解。例31。（4）特殊情况下，一个方程也可以解